Commutatore

[Spremiagrumi1]

Ho difficoltà con questo problema
Si calcoli il commutatore di $[A,B]$ con $A=X^2+Y$, $B=X^2-Y$ , $[X,Y]=i$

Svolgendo i calcoli trovo alla fine $ 2(YXX-XXY)$, non posso raccogliere $X$ dato che non so se e come commuta e quindi non so cosa fare. Spero rispondiate almeno a questa domanda, grazie

[Pappappero1]

In generale vale che
\[
XY = XY - YX + YX = YX + [X,Y].
\]

Utilizzando questo, e il fatto che $[X,Y]=i$ dovresti riuscire ad andare avanti.

[Spremiagrumi1]

Non riesco comunque ad andare avanti
Ecco i passaggi

$AB-BA
(x^2+Y)(X^2-Y)-(X^2-Y)(X^2+Y)=$
$=X^4+YX^2+X^2Y-Y^2-X^4+YX^2-X^2Y+Y^2= 2(YX^2-X^2Y)$

Usando la tua relazione ottengo

$(XY-i)X-X(YX+i)=XYX-iX-XYX-iX$

E poi? E' questo qua il risultato? Se pongo i = parentesi di commutazione etc ottengo lo stesso risultato di prima logicamente, lo stesso se cambio ancora $XY$ o $YX$. Sbaglio o non vedo qualcosa?

[Spremiagrumi1]

Forse ho risolto, ma dovete dirmi se è giusto

Abbiamo

$2(YX^2-X^2Y)=2([Y,X^2])$

Sappiamo che

$[X[Y,X]]=0$ perché $X(-i)-(-i)X=0$
quindi
$[Y,X^2]=YX^2-X^2Y+XYX-XYX=(YX-XY)x+X(YX-XY)=2([Y,X]X)$

infine

$2([Y,X])X=-2iX$

Sbaglio ancora qualcosa?

[Pappappero1]

Secondo me se non ci sono errori di calcolo che non vedo, va bene.

Poi non so quale debba essere il risultato.