Come trovo una base di Jordan

[Algebert]

Ciao a tutti
chiedo scusa se questa domanda fosse stata già posta in precedenza, ma non me la cavo molto bene con la funzione "cerca" del forum (lo so che sembra strano, ma è così); ho dei grossi dubbi relativi al metodo generale per trovare una base di Jordan di un endomorfismo, dopo aver ovviamente trovato la relativa matrice di Jordan. Io studio sul libro "Geometria" di Marco Abate (ed. McGraw-Hill) assieme al relativo libro di esercizi, che però dedica appena un paragrafo e un esempio al procedimento per trovare una base di Jordan di un endomorfismo, senza oltretutto essere nemmeno molto chiaro.
I miei problemi sorgono soprattutto quando, nella matrice di Jordan, vi è almeno un blocco di ordine 3. In tal caso come faccio a trovare i tre vettori che soddisfano la condizione di base di Jordan? So che c'entrano le equazioni cartesiane.
Spero abbiate la pazienza di aiutarmi !

Ciao a tutti !
Alessio

P.S:
oltre alla spiegazione anche un esempietto con un blocco di ordine 3 non sarebbe sgradito.

[franced]

"Algebert":Ciao a tutti
chiedo scusa se questa domanda fosse stata già posta in precedenza, ma non me la cavo molto bene con la funzione "cerca" del forum (lo so che sembra strano, ma è così); ho dei grossi dubbi relativi al metodo generale per trovare una base di Jordan di un endomorfismo, dopo aver ovviamente trovato la relativa matrice di Jordan. Io studio sul libro "Geometria" di Marco Abate (ed. McGraw-Hill) assieme al relativo libro di esercizi, che però dedica appena un paragrafo e un esempio al procedimento per trovare una base di Jordan di un endomorfismo, senza oltretutto essere nemmeno molto chiaro.
I miei problemi sorgono soprattutto quando, nella matrice di Jordan, vi è almeno un blocco di ordine 3. In tal caso come faccio a trovare i tre vettori che soddisfano la condizione di base di Jordan? So che c'entrano le equazioni cartesiane.
Spero abbiate la pazienza di aiutarmi !

Ciao a tutti !
Alessio

P.S:
oltre alla spiegazione anche un esempietto con un blocco di ordine 3 non sarebbe sgradito.

Una mia risposta di un anno fa circa potrebbe esserti utile.

[franced]

"franced":

Una mia risposta di un anno fa circa potrebbe esserti utile.

Trovato:

https://www.matematicamente.it/forum/aiu ... tml#204448

Lì c'è un esempio con una matrice 4x4.

Guarda un po' se ti può interessare.

[franced]

Prova a trovare la forma di Jordan di questa matrice:

$A = ((2,0,1,0,0),(0,2,1,0,0),(-1,1,3,1,1),(0,0,0,3,0),(-1,1,0,1,3))$

[Algebert]

Ciao
grazie mille per la risposta ed il link che mi hai dato. Riesco a capire tutto tranne (mi riferisco all'esempio che hai risolto) quando trovi le basi della differenza di due nuclei. So che potrebbe sembrare una domanda stupida, ma come fai a dire che $v1$ è una base di $Ker(N^3)" - Ker(N^2)$ ? E che $v2$ appartiene a $Ker(N^2) - Ker(N)$ ? E il vettore $v4$ (l'ultimo) deve necessariamente appartenere a $Ker(N)$ ?
Aspetto una risposta.

Grazie ancora
Alessio

[franced]

"Algebert":
...
ma come fai a dire che "v1" è una base di "Ker(N^3)" - Ker(N^2)"? E che "v2" appartiene a "Ker(N^2) - Ker(N)"? E il vettore "v4" (l'ultimo) deve necessariamente appartenere a "Ker(N)"?
...

Dato che $N^3$ è la matrice nulla e dato che $N^2 ne 0$, esiste una base per $Ker(N^3) - Ker(N^2)$. Ti torna?
Il vettore $v_1$ l'ho scelto in modo tale da non appartenere a $ker(N^2)$ (basta questo perché $ker(N^3) = RR^4$);
è facile trovare un vettore con queste caratteristiche: è sufficiente infatti verificare che $N^2 * v_1 ne 0$.

Per quanto riguarda il vettore $v_2$ è ovvio che sta in $Ker(N^2) - Ker(N)$;
il motivo di ciò risiede nel fatto che $v_2 = N * v_1$.

Per quanto riguarda $v_4$ (cioè l'ultimo vettore della base di Jordan) è chiaro che deve stare in $Ker(N)$, dal
momento che la dimensione del $Ker(N)$ è uguale a 2.
Devi anche riflettere sul fatto che $N^3 = 0$ e quindi non ci sono blocchi di Jordan 4 x 4.

[franced]

Una domanda: studi a Pisa?

[Algebert]

Ciao
grazie mille ancora per la tua risposta ! Finalmente sono riuscito a capire tutto!
Si, studio a Pisa, in particolare al primo anno del corso di laurea di Ingegneria Biomedica: ho l'esame di algebra lineare il 12 gennaio, con il professor Marco Forti.

[Algebert]

So che potrei sembrare stressante, ma per favore mi aiutereste a trovare le basi di Jordan di questi due endomorfismi?

$((0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(-1,0,2,0))$

$((2,0,0,0),(1,2,0,0),(0,0,3,0),(0,0,1,3))$

[franced]

"Algebert":So che potrei sembrare stressante, ma per favore mi aiutereste a trovare le basi di Jordan di questi due endomorfismi?

$((0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(-1,0,2,0))$

$((2,0,0,0),(1,2,0,0),(0,0,3,0),(0,0,1,3))$

Guarda bene la seconda matrice, in pratica la forma di Jordan
l'hai già..

[franced]

"franced":[quote="Algebert"]

$((2,0,0,0),(1,2,0,0),(0,0,3,0),(0,0,1,3))$

Guarda bene la seconda matrice, in pratica la forma di Jordan
l'hai già..[/quote]

Prova a prendere questa base:

$e_2, e_1, e_4,e_3$

e guarda cosa succede!