Come trovare una matrice ortogonale?
So che una matrice è ortogonale quando la trasposta è uguale all'inversa,
A ortogonale (definizione): $ (A)^(t) $ = $ (A)^(-1) $
In un esercizio dell'esame, c'era una cosa di questo tipo:
Dato un vettore (2,1,-1), trovare una matrice ortogonale A avente una riga coincidente con quel vettore.
Come si fa? Ho provato a determinare una matrice 3x3, la cui trasposta sia uguale alla matrice di partenza, ma niente, non ci sono riuscito in nessun modo...
A ortogonale (definizione): $ (A)^(t) $ = $ (A)^(-1) $
In un esercizio dell'esame, c'era una cosa di questo tipo:
Dato un vettore (2,1,-1), trovare una matrice ortogonale A avente una riga coincidente con quel vettore.
Come si fa? Ho provato a determinare una matrice 3x3, la cui trasposta sia uguale alla matrice di partenza, ma niente, non ci sono riuscito in nessun modo...
Risposte
Mi sa che andiamo male, perchè $A\ A^t = I$, ma l'elemento $a_(1,1) $ è $a_(1,1)= (2,1,-1) \cdot (2,1,-1) = 6$.
???? Fa fatica quel vettore a stare in una matrice ortogonale....
???? Fa fatica quel vettore a stare in una matrice ortogonale....
Potresti farmi un esempio con un vettore diverso? Almeno per capire in che modo ragionare...
Se vuoi prendiamo $(1/sqrt3,1/sqrt3,1/sqrt3)$. Il modulo è 1, quindi è un buon candidato.
Ora bisogna trovare altri due vettori di modulo 1 e ortogonali.
Ad esempio $(1/sqrt2, -1/sqrt2,0)$ e $(1/sqrt6, 1/sqrt6,-2/sqrt6)$
E' più chiaro ora ?
Ora bisogna trovare altri due vettori di modulo 1 e ortogonali.
Ad esempio $(1/sqrt2, -1/sqrt2,0)$ e $(1/sqrt6, 1/sqrt6,-2/sqrt6)$
E' più chiaro ora ?
E' chiaro il procedimento, perché nel primo vettore il modulo è 1?
Se fai questo calcolo $A\ A^t$ devi trovare la matrice identità. Se provi a fare i conti espliciti capisci perchè il modulo deve essere 1....
Per non tirare ad indovinare io prenderei una matrice simmetrica con gli elementi normalizzati. Nel nostro caso tale matrice è :
\(\displaystyle A= \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 2&1&-1\\ 1&a&c\\-1&c&b \end{pmatrix}\)
Imponendo l'ortogonalità si ha il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} 2+a-c=0\\-2+c-b=0\\-1+ac+bc=0\end{cases}\)
da cui le soluzioni :
\(\displaystyle a=b=\frac{-2\mp\sqrt6 }{2},c=\frac{ 2\mp \sqrt6 }{2} \)
Pertanto una possibile soluzione per A è :
\(\displaystyle A=\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2&1&-1\\1& \frac{\sqrt6-2}{2} &\frac{\sqrt6+2}{2}\\-1 & \frac{\sqrt6+2}{2}&\frac{\sqrt6-2}{2}\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle A= \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 2&1&-1\\ 1&a&c\\-1&c&b \end{pmatrix}\)
Imponendo l'ortogonalità si ha il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} 2+a-c=0\\-2+c-b=0\\-1+ac+bc=0\end{cases}\)
da cui le soluzioni :
\(\displaystyle a=b=\frac{-2\mp\sqrt6 }{2},c=\frac{ 2\mp \sqrt6 }{2} \)
Pertanto una possibile soluzione per A è :
\(\displaystyle A=\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2&1&-1\\1& \frac{\sqrt6-2}{2} &\frac{\sqrt6+2}{2}\\-1 & \frac{\sqrt6+2}{2}&\frac{\sqrt6-2}{2}\end{pmatrix}\)
@Quinzio: intendo il calcolo, come fa ad uscirti 1?
@vittorino70: grazie, ma vorrei capire come mai quel sistema per imporre l'ortogonalità. E soprattutto, come si applicherebbe il ragionamento ad una matrice 4x4?
@vittorino70: grazie, ma vorrei capire come mai quel sistema per imporre l'ortogonalità. E soprattutto, come si applicherebbe il ragionamento ad una matrice 4x4?
Come Quinzio sta cercando di farti capire ormai da tre o quattro post, una matrice è ortogonale se e solo se le sue righe (o le sue colonne, è lo stesso) sono ortonormali.
"dissonance":
Come Quinzio sta cercando di farti capire ormai da tre o quattro post, una matrice è ortogonale se e solo se le sue righe (o le sue colonne, è lo stesso) sono ortonormali.
Ah ecco, questa definizione mi mancava. Sapevo che una matrice fosse ortogonale solo quando, moltiplicata per la trasposta, desse per risultato la matrice identica.
E non è la stessa cosa, scusa? Anzi, la scrittura \(A^TA=I\) è più che altro una maniera condensata di esprimere proprio il concetto di prima. Non hai mai riflettuto sul significato geometrico di una matrice ortogonale? Qual è la proprietà fondamentale dell'applicazione lineare ad essa associata?
In effetti il mio corso è stato strutturato così, mi sono dovuto ricavare da solo il significato del determinante e roba varia. Diagonalizzavamo matrici senza sapere il perché.
Una matrice è ortogonale se e solo se le proprie righe (o colonne) sono ortonormali, cioè versori ortogonali.
Ma per imporre l'ortogonalità dei vettori io imponevo il prodotto delle loro componenti uguali a zero.
EDIT: ok con quel sistema è stato imposto proprio questo.
Sull'applicazione matriciale non abbiamo mai fatto nulla
Una matrice è ortogonale se e solo se le proprie righe (o colonne) sono ortonormali, cioè versori ortogonali.
Ma per imporre l'ortogonalità dei vettori io imponevo il prodotto delle loro componenti uguali a zero.
EDIT: ok con quel sistema è stato imposto proprio questo.
Sull'applicazione matriciale non abbiamo mai fatto nulla
"alex369":Meglio. Le cose bisogna scoprirle da soli sennò perdono tutta la loro magia.
In effetti il mio corso è stato strutturato così, mi sono dovuto ricavare da solo il significato del determinante e roba varia.
Una matrice è ortogonale se e solo se le proprie righe (o colonne) sono ortonormali, cioè versori ortogonali.
Vedi che le sai le cose? Ciò significa che se pensi la matrice come una applicazione lineare, essa applica la base canonica di \(\mathbb{R}^n\) in una base ortonormale: è questa la proprietà geometrica a cui facevo riferimento.
Grazie mille! In effetti anche dopo l'esame mi piacerebbe colmare questi "buchi", mi potreste consigliare un buon libro per l'algebra e geometria? Il mio docente ha suggerito Lipschutz, qualche altro titolo?
Lang, Algebra lineare, è un classico. Poi dipende dalla direzione in cui vuoi approfondire.
"dissonance":Meglio. Le cose bisogna scoprirle da soli sennò perdono tutta la loro magia.[/quote]
[quote="alex369"]In effetti il mio corso è stato strutturato così, mi sono dovuto ricavare da solo il significato del determinante e roba varia.
Grandissimo.
"dissonance":
Lang, Algebra lineare, è un classico. Poi dipende dalla direzione in cui vuoi approfondire.
Grazie
Vorrei però capire quali sensi intendi, così che possa essere più preciso
PS. in quel libro c'è anche geometria analitica?
Per esempio ti possono interessare le applicazioni più astratte, tipo la teoria dei moduli, oppure le questioni numeriche, o le applicazioni alle equazioni differenziali o alla geometria... Sono tutte cose che affondano profondamente le radici nell'algebra lineare, che è uguale per tutti però chiaramente ogni autore tenderà a dare una sfumatura diversa a seconda dei suoi interessi. Il libro che ti ho segnalato è un jolly perché Lang è (credo) uno degli ultimi matematici ad essersi occupato di *tutto*. Non si parla però di geometria analitica anche perché è un argomento troppo vago: devi specificare meglio cosa intendi.
L'esame è "Geometria e Algebra" e il professore ci ha fatto comprare dei plichi di fogli (scritti da lui in persona) che utilizzava in classe per "scopiazzare" quello che metteva su lavagna. Il primo plico, "Algebra lineare", tratta matrici e sistemi (passando per definizioni semplici di struttura algebrica, gruppo, anello, ecc.). Il secondo, "Geometria analitica", tratta di vettori nel piano, nello spazio, cambiamenti di riferimento, equazioni delle rette (numeri e coseni direttori), matrici associate a coniche, ecc.
Giusto per dare un'idea di quello che ho dovuto studiare...
Giusto per dare un'idea di quello che ho dovuto studiare...
I plichi del professore andranno bene per l'esame. (Tieni conto che dare un esame non è proprio la stessa cosa che capire a fondo un argomento. Come diceva un mio bravissimo professore di Fisica, quando si studia per un esame arriva un momento in cui bisogna smettere di capire e iniziare a calcolare. E' nella fase successiva, a esame già approvato, che si diventa bravi).
Se vuoi approfondire, un riferimento standard su tutte queste cose è Sernesi, Geometria 1. E' un libro un po' controverso: c'è chi lo trova pessimo, io non sono così drastico, a me non dispiace. Comunque, se vuoi riferimenti bibliografici completi puoi aprire un thread nella sezione "Leggiti questo!": su questo forum bazzicano anche esperti e appassionati di geometria che ti sapranno consigliare meglio di me.
Chiudo con un consiglio di massima. Prima di comprare un libro, abbi cura di consultarlo e cerca di consultare molti libri. La Bibbia non esiste, in ogni argomento ci sono tanti punti di vista diversi e conviene avere almeno una idea della letteratura esistente. E' politicamente scorretto dirlo, ma su Internet girano copie in pdf di tutti i libri principali: si tratta di materiale illegale e ti scoraggio vivamente dal procurartelo, [size=80]ma è una buonissima soluzione per consultare molti libri senza dover combattere con le biblioteche[/size].
Se vuoi approfondire, un riferimento standard su tutte queste cose è Sernesi, Geometria 1. E' un libro un po' controverso: c'è chi lo trova pessimo, io non sono così drastico, a me non dispiace. Comunque, se vuoi riferimenti bibliografici completi puoi aprire un thread nella sezione "Leggiti questo!": su questo forum bazzicano anche esperti e appassionati di geometria che ti sapranno consigliare meglio di me.
Chiudo con un consiglio di massima. Prima di comprare un libro, abbi cura di consultarlo e cerca di consultare molti libri. La Bibbia non esiste, in ogni argomento ci sono tanti punti di vista diversi e conviene avere almeno una idea della letteratura esistente. E' politicamente scorretto dirlo, ma su Internet girano copie in pdf di tutti i libri principali: si tratta di materiale illegale e ti scoraggio vivamente dal procurartelo, [size=80]ma è una buonissima soluzione per consultare molti libri senza dover combattere con le biblioteche[/size].
"dissonance":
Tieni conto che dare un esame non è proprio la stessa cosa che capire a fondo un argomento. Come diceva un mio bravissimo professore di Fisica, quando si studia per un esame arriva un momento in cui bisogna smettere di capire e iniziare a calcolare. E' nella fase successiva, a esame già approvato, che si diventa bravi).
Hai scritto una verità sacrosanta, ti stimo moltissimo.
"dissonance":
Se vuoi approfondire, un riferimento standard su tutte queste cose è Sernesi, Geometria 1. E' un libro un po' controverso: c'è chi lo trova pessimo, io non sono così drastico, a me non dispiace.
Per me è un ottimo libro; ha la caratteristica di essere molto formale (per questo motivo si può considerare un po' controverso).
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