Come trovare una base
Sono molto confuso su come riuscire a trovare una base di un piano / sottospazio o quel che sia.
Un esercizio dice: "Dato il piano di equazione $3x+5y+4z=0$, determinarne una base. Lo stesso per il piano $-y+z=0$."
Io ormai in preda a febbre da matrici ho subito impostato queste due matrici: $((3,5,4,0),(0,-1,1,0))$ rendendomi conto solo dopo che non c'entra nulla.
Ricapitolando: una base è quell'insieme di vettori linearmente indipendenti che attraverso la combinazione lineare di scalari mi permette di esprimere qualsiasi vettore in un determinato spazio vettoriale. La dimensione invece non è altro il numero di vettori che mi servono e che, in soldoni, in una matrice RREF corrispondono ai vettori linearmente indipendenti.
Detto questo, non so come procedere. Grazie
Un esercizio dice: "Dato il piano di equazione $3x+5y+4z=0$, determinarne una base. Lo stesso per il piano $-y+z=0$."
Io ormai in preda a febbre da matrici ho subito impostato queste due matrici: $((3,5,4,0),(0,-1,1,0))$ rendendomi conto solo dopo che non c'entra nulla.
Ricapitolando: una base è quell'insieme di vettori linearmente indipendenti che attraverso la combinazione lineare di scalari mi permette di esprimere qualsiasi vettore in un determinato spazio vettoriale. La dimensione invece non è altro il numero di vettori che mi servono e che, in soldoni, in una matrice RREF corrispondono ai vettori linearmente indipendenti.
Detto questo, non so come procedere. Grazie
Risposte
Per trovare una base della giacitura di un sottospazio devi risolvere il sistema omogeneo associato a quello che ti viene dato. In generale ti servirà una matrice ma in questo caso, avendo una sola equazione non ce n'è bisogno. La dimensione dello spazio delle soluzioni, come sai da Rouché-Capelli, è \( n-rg(A) \) con \( A \) matrice associata al sistema. In questo caso la dimensione è 2, quindi ti basta trovare due vettori linearmente indipendenti che risolvano l'equazione del piano (che, se noti, è già omogenea in entrambi i casi). Quindi per farti un esempio, per la giacitura del piano \( -y+z=0 \) una base semplice è data da: \( \{ \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\0\\0 \end{pmatrix} \} \).
Quindi avendo una sola equazione il rango sarà 1. Noi abbiamo 3 incognite e quindi la dimensione sarà 2. Perfettissimo. Fatto questo non capisco come trovare i due vettori che ci servono..
EDIT: Ho provato a fare un altro esercizio ma senza risultati:
"Determinare una base (ovvero un vettore direttore) per la retta di equazioni:
${(x+y+z=0), (x-y=0)}:$"
Ho provato a risolvere come hai detto tu questa matrice:
$((1,1,1,0),(1,-1,0,0))$
E dopo averla ridotta in forma RREF:
$((1,1,1,0),(0,-2,-1,0))$
Non so più cosa fare...
Abbiamo 3 incognite, ed il rango è ovviamente 2. $dim = 3 - 2 = 1$ giusto?
Quindi dovrò trovare UN vettore direttore... e ci siamo. Risposta corretta. Ma... come? :'(
EDIT: Ho provato a fare un altro esercizio ma senza risultati:
"Determinare una base (ovvero un vettore direttore) per la retta di equazioni:
${(x+y+z=0), (x-y=0)}:$"
Ho provato a risolvere come hai detto tu questa matrice:
$((1,1,1,0),(1,-1,0,0))$
E dopo averla ridotta in forma RREF:
$((1,1,1,0),(0,-2,-1,0))$
Non so più cosa fare...
Abbiamo 3 incognite, ed il rango è ovviamente 2. $dim = 3 - 2 = 1$ giusto?
Quindi dovrò trovare UN vettore direttore... e ci siamo. Risposta corretta. Ma... come? :'(
Sopra però te l'ho scritto come fare! Devi risolvere il sistema omogeneo associato, è la prima cosa che ho scritto. Una volta che hai ridotto la matrice risolverlo non dovrebbe esserti difficile. E nel caso del piano è ancora più semplice perché hai una sola equazione.
Risolvere il sistema, e ridurre la matrice non sono la stessa cosa...la riduzione di Gauss ti serve soltanto per rendere più facili i calcoli. Una volta ridotta devi riprenderti i coefficienti e risolvere il sistema lineare come penso tu abbia fatto già molte altre volte. Una base dello spazio delle soluzioni è proprio una base dello spazio che cerchi, questo perché esso è effettivamente lo spazio delle soluzioni delle equazioni omogenee associate.
Oltretutto risolvere il sistema omogeneo associato, vuol dire non considerare la colonna dei coefficienti (quindi non la mettere proprio nella matrice!). In questi casi hai sempre preso esercizi con piani passanti per l'origine e quindi ti è indifferente (ovvero privi di termine noto) ma nel caso in cui ci fossero, non dovresti considerarli (perché risolvi le equazioni omogenee).
Quindi per farti concretamente capire coi calcoli devi considerare questa matrice : \( \begin{pmatrix} 1 &1 &1\\ 1& -1 &0 \end{pmatrix} \) che ridotta ti da \( \begin{pmatrix} 1 &1 &1\\ 0& -2 & 1\end{pmatrix} \).
Una volta ridotta (anche se in questo caso potevi risolverlo senza ridurre perché era molto semplice) risolvi il nuovo sistema ovvero : \( x+y+z= 0 , -2y-z=0 \), trovando una base delle soluzioni, che in questo caso è, molto semplicemente, \( \{ \begin{pmatrix} 1\\1\\-2 \end{pmatrix} \} \) (l'ho trovato ricavando x e z in funzione di y e poi ponendo y=1).
Spero di essere stato un po' più chiaro.
Risolvere il sistema, e ridurre la matrice non sono la stessa cosa...la riduzione di Gauss ti serve soltanto per rendere più facili i calcoli. Una volta ridotta devi riprenderti i coefficienti e risolvere il sistema lineare come penso tu abbia fatto già molte altre volte
. Una base dello spazio delle soluzioni è proprio una base dello spazio che cerchi, questo perché esso è effettivamente lo spazio delle soluzioni delle equazioni omogenee associate.Oltretutto risolvere il sistema omogeneo associato, vuol dire non considerare la colonna dei coefficienti (quindi non la mettere proprio nella matrice!). In questi casi hai sempre preso esercizi con piani passanti per l'origine e quindi ti è indifferente (ovvero privi di termine noto) ma nel caso in cui ci fossero, non dovresti considerarli (perché risolvi le equazioni omogenee).
Quindi per farti concretamente capire coi calcoli devi considerare questa matrice : \( \begin{pmatrix} 1 &1 &1\\ 1& -1 &0 \end{pmatrix} \) che ridotta ti da \( \begin{pmatrix} 1 &1 &1\\ 0& -2 & 1\end{pmatrix} \).
Una volta ridotta (anche se in questo caso potevi risolverlo senza ridurre perché era molto semplice) risolvi il nuovo sistema ovvero : \( x+y+z= 0 , -2y-z=0 \), trovando una base delle soluzioni, che in questo caso è, molto semplicemente, \( \{ \begin{pmatrix} 1\\1\\-2 \end{pmatrix} \} \) (l'ho trovato ricavando x e z in funzione di y e poi ponendo y=1).
Spero di essere stato un po' più chiaro
.
La seconda matrice però non è $((1,1,1),(0,-2,-1))$? Oppure ho come al solito sbagliato i calcoli? 
Non riesco a fare ciò per un piano. Cioè ho un'unica equazione a 3 incognite. Quindi avrò bisogno di 2 vettori generatori ($dim = 3-1=2$) ma non so come fare!
E cioè: $3x+5y+4z=0$.
Imposto o la matrice o il sistema (non cambia nulla tanto, cosa posso semplificare?) ottenendo
${(3x+5y+4z=0)}:$
E poi??
Sono nel pallone.
Grazie mille per l'aiuto!
Non riesco a fare ciò per un piano. Cioè ho un'unica equazione a 3 incognite. Quindi avrò bisogno di 2 vettori generatori ($dim = 3-1=2$) ma non so come fare!
E cioè: $3x+5y+4z=0$.
Imposto o la matrice o il sistema (non cambia nulla tanto, cosa posso semplificare?) ottenendo
${(3x+5y+4z=0)}:$
E poi??
Sono nel pallone.
Grazie mille per l'aiuto!
Non ho letto il 3d , considero il piano di equazione $3x+5y+4z=0 $ :il problema sia trovare una base del piano stesso.
Il piano ha $Dim=2 $ , dovrò quindi trovare 2 vettori linearmenti indipendenti le cui combinazioni lineari descrivono il piano.
Quindi nell'equazione 2 variabili sono libere.
Primo passo -scelgo $ x $ come mi piace ad es. $x =0 $ da cui : $5y +4z =0 $ ancora scelgo $y $ in modo " furbo " in modo da non avere numeri frazionari, quindi $ y=4 $ da cui si ottiene $z=-5$.
Il primo vettore è quindi $( 0,4,-5) $.
Secondo passo , in modo analogo scelgo $y=0 $ da cui $3x+4z=0$ , scelgo $x=4 $ da cui $ z= -3 $ .Il secondo vettore è $( 4,0,-3)$.
Il piano ha $Dim=2 $ , dovrò quindi trovare 2 vettori linearmenti indipendenti le cui combinazioni lineari descrivono il piano.
Quindi nell'equazione 2 variabili sono libere.
Primo passo -scelgo $ x $ come mi piace ad es. $x =0 $ da cui : $5y +4z =0 $ ancora scelgo $y $ in modo " furbo " in modo da non avere numeri frazionari, quindi $ y=4 $ da cui si ottiene $z=-5$.
Il primo vettore è quindi $( 0,4,-5) $.
Secondo passo , in modo analogo scelgo $y=0 $ da cui $3x+4z=0$ , scelgo $x=4 $ da cui $ z= -3 $ .Il secondo vettore è $( 4,0,-3)$.
Quindi posso prendere in maniera arbitraria dei valori ed assegnarli alle variabili INDIPENDENTI (corrispondenti alla dimensione cioè) giusto?
Il professore porta come risultati $(-4/3,0,1),(-5/3,1,0)$ che è UNA base. Quindi qualsiasi altra base va bene... giusto?
EDIT: Ok, provando a fare un altro esercizio... mi sono blocato di nuovo. Nel caso in cui NON compare la terza incognita? Cosa faccio?
$-y+z=0$
Ho calcolato subito $(0,1,1)$ con ${(x=0),(y=1),(z=1):}$ (con $x$ e $y$ scelti in maniera arbitraria). E il secondo vettore??
Il professore porta come risultati $(-4/3,0,1),(-5/3,1,0)$ che è UNA base. Quindi qualsiasi altra base va bene... giusto?
EDIT: Ok, provando a fare un altro esercizio... mi sono blocato di nuovo. Nel caso in cui NON compare la terza incognita? Cosa faccio?
$-y+z=0$
Ho calcolato subito $(0,1,1)$ con ${(x=0),(y=1),(z=1):}$ (con $x$ e $y$ scelti in maniera arbitraria). E il secondo vettore??
Ops si scusami ho sbagliato io a copiare i numeri , i calcoli dopo dovrebbero essere comunque corretti!
In ogni caso si, ogni base va bene. Se non compare la terza incognita vuol dire che è libera dalle altre, e quindi puoi assegnargli valori arbitrari- Tipicamente si pone prima uguale a 0, come hai fatto tu, e poi uguale ad 1 (con le altre due 0) per avere la base più semplice possibile. Quindi in questo caso avresti \( \begin{pmatrix} 1 \\0 \\0 \end{pmatrix} \) come secondo vettore.
, i calcoli dopo dovrebbero essere comunque corretti!In ogni caso si, ogni base va bene. Se non compare la terza incognita vuol dire che è libera dalle altre, e quindi puoi assegnargli valori arbitrari- Tipicamente si pone prima uguale a 0, come hai fatto tu, e poi uguale ad 1 (con le altre due 0) per avere la base più semplice possibile. Quindi in questo caso avresti \( \begin{pmatrix} 1 \\0 \\0 \end{pmatrix} \) come secondo vettore.
Perfetto grazie mille! E scusami per la perdita di tempo! Ultimissima cosa! Posso rimandarti ad un altro mio topic? Quello delle matrici elementari E' un dubbio che non riesco a togliermi!
Grazie ancora e scusami per il disturbo!
E' un dubbio che non riesco a togliermi!Grazie ancora e scusami per il disturbo!
"GSnake":
[...] Posso rimandarti ad un altro mio topic?
Gli "up" conviene farli nel topic in questione.
Va bene però attenderò un altro poco prima di farlo 
Scusatemi
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