Come trovare la base di un'intersezione?
Buon Pomeriggio!
Mi trovo dinnanzi a questo esercizio: Al variare di $h$ in $RR$, si consideri l'applicazione lineare $f_h:RR^3->RR^3$ individuata dalle seguenti condizioni:
$f_h((1,0,0))=(1,3,h),f_h((0,2,1))=(h,2h+1,1),f_h((0,0,3))=(3h,3,3)$ ed il sottospazio $U={\vec x \in RR^3| x+y+2z=0}$
a) determinare la matrice associata alla funzione rispetto alla base canonica di $RR^3$;
b)determinare per quali valori di $h$, la funzione è biettiva;
c)trovare una base di $Imf_1nnU$;
d)trovare $f_0(U)$;
e)dire per quali valori di $h$, $f_h$ è semplice.
Ho risolto i primi due punti e ho idea di come fare per gli ultimi due...Ma sono in difficoltà per il punto c.
Vorrei riuscire a mettere a sistema l'equazione del sottospazio data con quelle di $Imf_1$... Ma come posso trovare le equazioni di quest'ultima?
Mi trovo dinnanzi a questo esercizio: Al variare di $h$ in $RR$, si consideri l'applicazione lineare $f_h:RR^3->RR^3$ individuata dalle seguenti condizioni:
$f_h((1,0,0))=(1,3,h),f_h((0,2,1))=(h,2h+1,1),f_h((0,0,3))=(3h,3,3)$ ed il sottospazio $U={\vec x \in RR^3| x+y+2z=0}$
a) determinare la matrice associata alla funzione rispetto alla base canonica di $RR^3$;
b)determinare per quali valori di $h$, la funzione è biettiva;
c)trovare una base di $Imf_1nnU$;
d)trovare $f_0(U)$;
e)dire per quali valori di $h$, $f_h$ è semplice.
Ho risolto i primi due punti e ho idea di come fare per gli ultimi due...Ma sono in difficoltà per il punto c.
Vorrei riuscire a mettere a sistema l'equazione del sottospazio data con quelle di $Imf_1$... Ma come posso trovare le equazioni di quest'ultima?
Risposte
Risulta che: \(\displaystyle \text{Imf}_1=[(1,3,1),(3,3,3)]\)
Il generico vettore di \(\displaystyle \text{Imf}_1 \) sarà allora dato da :
(1) \(\displaystyle v=\lambda(1,3,1)+\mu(3,3,3)= (\lambda+3\mu,3\lambda+3\mu,\lambda+3\mu)\)
Il vettore v apparterrà ad U se è :
\(\displaystyle \lambda+3\mu+3\lambda+3\mu+2(\lambda+3\mu )=0\)
da cui segue : \(\displaystyle \lambda=-2\mu \)
Pertanto, sostituendo nella (1), l'intersezione richiesta risulta essere data da \(\displaystyle Span(1,-3,1) \)
Se invece vuoi lavorare con le equazioni devi agire come segue .
Riduci a forma a gradini la matrice :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&3&1\\3&3&3\\x&y&z\end{pmatrix} \)
ed ottieni la matrice :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&3&1\\0&-6&0\\0&0&6x-6z\end{pmatrix} \)
Eguagliando a 0 l'ultimo termine della terza riga si ha l'equazione x-z=0
Pertanto la richiesta intersezione è lo span composto dalle soluzioni del sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}x=z\\x+y+2z=0\end {cases} \)
da cui si ricava la soluzione precedente.
Il generico vettore di \(\displaystyle \text{Imf}_1 \) sarà allora dato da :
(1) \(\displaystyle v=\lambda(1,3,1)+\mu(3,3,3)= (\lambda+3\mu,3\lambda+3\mu,\lambda+3\mu)\)
Il vettore v apparterrà ad U se è :
\(\displaystyle \lambda+3\mu+3\lambda+3\mu+2(\lambda+3\mu )=0\)
da cui segue : \(\displaystyle \lambda=-2\mu \)
Pertanto, sostituendo nella (1), l'intersezione richiesta risulta essere data da \(\displaystyle Span(1,-3,1) \)
Se invece vuoi lavorare con le equazioni devi agire come segue .
Riduci a forma a gradini la matrice :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&3&1\\3&3&3\\x&y&z\end{pmatrix} \)
ed ottieni la matrice :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&3&1\\0&-6&0\\0&0&6x-6z\end{pmatrix} \)
Eguagliando a 0 l'ultimo termine della terza riga si ha l'equazione x-z=0
Pertanto la richiesta intersezione è lo span composto dalle soluzioni del sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}x=z\\x+y+2z=0\end {cases} \)
da cui si ricava la soluzione precedente.
Grazie per la risposta!
Nell'immagine dell'applicazione hai considerato due vettori perché la sua dimensione era $2$, giusto?
Nell'immagine dell'applicazione hai considerato due vettori perché la sua dimensione era $2$, giusto?
Riflettendo...Ti chiedo due cose:
1) Perché alla terza riga della matrice scrivi $x,y,z$...Cioè ho capito a cosa serve, ma come arrivi a scriverlo?
2) Ne approfitto per confrontarmi ulteriormente sul punto d che mi chiedeva di trovare $f_0(U)$
Io ho ragionato in questo modo:
Per definizione $U={x⃗ \in RR^3 | x+y+2z=0}$ quindi posso scrivere $U={(x,y,z) \in RR^3 | x=a, y=b, z=-(a+b)/2$ con $a,b,c \in RR}$
Dunque $U=L(\vec v_1,\vec v_2)$ con con $\vec v_1=(1,0,-1/2), \vec v_2=(0,1,-1/2)$ quindi $dimU=2$.
Allora $f_0(U)=L(f(v_1), f(v_2))$ con $f(v_1)=(1,3,0)$ ed $f(v_2)=(0,1,1)$
Tale procedimento è corretto?
1) Perché alla terza riga della matrice scrivi $x,y,z$...Cioè ho capito a cosa serve, ma come arrivi a scriverlo?
2) Ne approfitto per confrontarmi ulteriormente sul punto d che mi chiedeva di trovare $f_0(U)$
Io ho ragionato in questo modo:
Per definizione $U={x⃗ \in RR^3 | x+y+2z=0}$ quindi posso scrivere $U={(x,y,z) \in RR^3 | x=a, y=b, z=-(a+b)/2$ con $a,b,c \in RR}$
Dunque $U=L(\vec v_1,\vec v_2)$ con con $\vec v_1=(1,0,-1/2), \vec v_2=(0,1,-1/2)$ quindi $dimU=2$.
Allora $f_0(U)=L(f(v_1), f(v_2))$ con $f(v_1)=(1,3,0)$ ed $f(v_2)=(0,1,1)$
Tale procedimento è corretto?
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