Come trovare i generatori di tale sottospazio?

[Taraste]

Salve a tutti! Sono in difficoltà con questo sottospazio di R4, nel senso che non riesco a trovare dei generatori, e nemmeno una base; il sottospazio di R4 è definito da queste due equazioni (nelle incognite x,y,z,w) :

S = $\{(-x+2y+2z=0),(-x+2z+2w=0):}$

Mi spiegate per favore come fare? Grazie in anticipo.

[Seneca1]

Dalla prima: $x = 2y + 2z$

Sostituendo nella seconda trovo: $2w = x - 2z = 2y + 2z - 2z = 2y$ da cui $w = y$.

Dunque le soluzioni sono $(2y + 2z , y , z , y) = y (2 , 1 , 0 , 1) + z ( 2 , 0 , 1 , 0)$.

[Taraste]

Come hai fatto a decidere in base a quale parametro trovare le soluzioni? Nel senso, io avevo trovato dalla prima la x e dalla seconda la y, e non riuscivo a fare quello che tu hai fatto perchè mi trovavo 3 variabili sulle soluzioni.

[Howard_Wolowitz]

In questo caso si vedeva anche a occhio, volendo si poteva trovare la variabile dipendente [tex]x[/tex] nella seconda equazione del sistema e, sostituendo poi nella prima equazione, si sarebbe trovata una delle infinte soluzioni del sistema, nel caso da me esposto, in funzione di [tex]w[/tex] e [tex]z[/tex].
Se invece ti trovi alle prese con un sistema più complesso allora applichi l'eliminazione di Gauss o la riduzione a scala e poi procedi con la risoluzione all'indietro. In tal caso sai già dalla riduzione quali e quante sono le variabili dipendenti(i pivot trovati corrispondenti in numero a [tex]rg(A)[/tex]) e quelle indipendenti(le altre in numero di [tex]n - rg(A)[/tex]).

[Seneca1]

Ho scelto i parametri liberi in un modo che mi è parso conveniente.

[Camillo]

In questo caso era utile sottrarre membro a membro le due equazioni, il che portava subito a $w=y$.
Pochi lo applicano, ma può essere assai utile..

[Taraste]

grazie a tutti, siete stati chiari