Come studiare una parabola non in forma canonica??
Salve a tutti ragazzuoli del forum!
Ho un problema nello studio di coniche per l' esame di algebra lineare e geometria..il mio problema è che se mi viene chiesto di studiare un data parabola che non è in forma canonica e quindi con un' equazione del tipo $ x^2-2xy+y^2-x-y=0 $ non so proprio dove metterci mano..come faccio a ricondurla alla forma canonica e trovare fuoco, direttrice, punto improprio, vertice, ecc ecc..???
In particolare potreste per favore spiegarmi, in modo chiaro, come ricondurla alla forma canonicaaa??
Grazie a tutti in anticipo!!!
Ho un problema nello studio di coniche per l' esame di algebra lineare e geometria..il mio problema è che se mi viene chiesto di studiare un data parabola che non è in forma canonica e quindi con un' equazione del tipo $ x^2-2xy+y^2-x-y=0 $ non so proprio dove metterci mano..come faccio a ricondurla alla forma canonica e trovare fuoco, direttrice, punto improprio, vertice, ecc ecc..???
In particolare potreste per favore spiegarmi, in modo chiaro, come ricondurla alla forma canonicaaa??
Grazie a tutti in anticipo!!!
Risposte
Beh, io comincerei notando che:
$x^2-2xy+y^2-x-y=0 \Leftrightarrow (x-y)^2-(x-y)-2y=0$
cosicché basta fare un'ovvia trasformazione di coordinate per ricondursi ad una forma più conveniente; fatto ciò non dovrebbe essere difficile trovare la direttrice ed il fuoco ed antitrasformare.
Per arrivare alla forma canonica bisogna fare qualche passaggino in più, ma te lo lascio volentieri...
$x^2-2xy+y^2-x-y=0 \Leftrightarrow (x-y)^2-(x-y)-2y=0$
cosicché basta fare un'ovvia trasformazione di coordinate per ricondursi ad una forma più conveniente; fatto ciò non dovrebbe essere difficile trovare la direttrice ed il fuoco ed antitrasformare.
Per arrivare alla forma canonica bisogna fare qualche passaggino in più, ma te lo lascio volentieri...
L'equazione è $x^2-2xy+y^2-x-y=0$ .
E' immediato osservare che, se scambi $x$ con $y$, l'equazione non cambia:
la parabola è perciò simmetrica rispetto alla retta $y=x$.
Inoltre l'intersezione della parabola con tale retta è l'origine che, pertanto, è il vertice della parabola.
Se vuoi trovare l'equazione canonica prova con questo cambio di coordinate
($X$ e $Y$ sono le "nuove" coordinate):
${(x = sqrt(2)/2 X + sqrt(2)/2 Y),(y = - sqrt(2)/2 X + sqrt(2)/2 Y):}$ ;
si trova
$Y = sqrt(2) X^2$ .
E' immediato osservare che, se scambi $x$ con $y$, l'equazione non cambia:
la parabola è perciò simmetrica rispetto alla retta $y=x$.
Inoltre l'intersezione della parabola con tale retta è l'origine che, pertanto, è il vertice della parabola.
Se vuoi trovare l'equazione canonica prova con questo cambio di coordinate
($X$ e $Y$ sono le "nuove" coordinate):
${(x = sqrt(2)/2 X + sqrt(2)/2 Y),(y = - sqrt(2)/2 X + sqrt(2)/2 Y):}$ ;
si trova
$Y = sqrt(2) X^2$ .
ok vi ringrazio e credo di aver capito il concetto ma perché quando imposti il sistema per trovare le nuove coordinate ti viene che $ x=sqrt(2)/2X+sqrt(2)/2Y $ e $ y=-sqrt(2)/2X+sqrt(2)/2Y $ ??
nn capisco questo passaggio..cioè qual è la regola per determinare il corretto cambio di coordinare??
grazie ancora per la pazienza!!
nn capisco questo passaggio..cioè qual è la regola per determinare il corretto cambio di coordinare??
grazie ancora per la pazienza!!
"giovannimulinetto":
ok vi ringrazio e credo di aver capito il concetto ma perché quando imposti il sistema per trovare le nuove coordinate ti viene che $ x=sqrt(2)/2X+sqrt(2)/2Y $ e $ y=-sqrt(2)/2X+sqrt(2)/2Y $ ??
nn capisco questo passaggio..cioè qual è la regola per determinare il corretto cambio di coordinare??
grazie ancora per la pazienza!!
Visto che l'asse di simmetria della parabola è la retta $y=x$ e il vertice è l'origine, prendo il sistema
di riferimento centrato in $O$ e ruotato di 45 gradi in senso orario.
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