Come son stati trovati gli autovalori di questa matrice?

[wattbatt]

-k	1	-1+k
-1	1+k	k

L' esercizio chiede per quali k la matrice è diagobalizzabile; quello che però non capisco è come mai PRIMA di iniziare la discussione sul k la soluzione dá subito gli autovalori come 2,2,4.

Ho provato su wolphram alpha e dà gli stessi autovalori, ma non riesco proprio a capire perché gli autovalori prescindono da k, io ho provato il determinante sia con sarrus che con laplace e mi viene

-λ^3 +8λ^2+λ(-20-k)+16+2k

il che ha due problemi: la k resta e durante il calcolo non riesco a raccogliere nulla per cui non so risolvere il 3 grado, mentre il libro per soluzione mette il pol. caratteristico
(2-λ^2)*(4-λ), che se sviluppato diventa come il mio ma senza k; ha forse usato un metodo che ignoro? Ripeto, non ha posto k=0, pare che gli autovalori siano quelli a prescindere ma non capisco perché.

Ho anche provato a ridurre a scala la matrice ma penso di aver capito che se lo faccio, il determinante resta uguale ma gli autovalori no giusto?

[cooper1]

hai apparentemente sbagliato entrambe le volte i calcoli. anche a me il polinomio caratteristico viene indipendente da k. ti mostro i miei passaggi ma sarebbe più logico il contrario (tu mostri i tuoi).
$ | ( 3-k-lambda , -k , 1 ),( -1+k , 2+k-lambda , -1 ),( 1+k , k , 3-lambda ) | $ sviluppo rispetto alla terza colonna con Laplace:

$ =k(k-1)-(1-k)(2+k-lambda)+k(3-k-lambda)+k(k+1)+(3-lambda)[(3-k-lambda)(2+k-lambda)+k(k-1)] $
$=k^2-k-(2+k-lambda+2k+k^2-lambdak)+3k-k^2-lambdak+k^2+k+(3-lambda)(6+3k-3lambda-2k-k^2+lambdak-2lambda-lambdak+lambda^2 +k^2-k)$
$= -2+lambda+(3-lambda)(6-5lambda+lambda^2)$

come vedi non dipende da k

[wattbatt]

Oh bene, almeno so di non avere parti mancant