Come si trova l'intersezione di due spazi vettoriali?
Se ho questi due spazi vettoriali:
$S= [(1,0,0,-1) (0,2,1,0) (1,4,2,-1) (1,0,0,1)]$
$T= [(1,0,0,0) (0,1,1,2)]$
Come si trova l'intersezione fra $S$ e $T$ e una base di questa intersezione?
$S= [(1,0,0,-1) (0,2,1,0) (1,4,2,-1) (1,0,0,1)]$
$T= [(1,0,0,0) (0,1,1,2)]$
Come si trova l'intersezione fra $S$ e $T$ e una base di questa intersezione?
Risposte
Ciao, iniziamo scrivendo la matrice dei vettori generatori di $S$: \[\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&2&4&0\\0&1&2&0\\-1&0&-1&1\end{bmatrix}\] Il rango di questa è $3$ (si vede a occhio che il terzo vettore è pari al primo più il doppio del secondo). Quindi abbiamo \[\dim S = 3\] e una base di $S$ è data da \[B_S=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&0\\0&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}\] Invece i due vettori che generano $T$, cioè \[B_T=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&1\\0&2\end{bmatrix}\] sono linearmente indipendenti, quindi \[\dim T = 2\] Ora costruiamo la matrice $4 xx 5$ affiancando tutti i vettori: \[\begin{bmatrix}1&0&1&1&0\\0&2&0&0&1\\0&1&0&0&1\\-1&0&1&0&2\end{bmatrix}\] e calcoliamo il suo rango, che risulta $4$. Finalmente possiamo sfruttare la formula di Grassmann: \[\dim\left(U\cup V\right) = \dim U + \dim V - \dim\left(U\cap V\right)\] In questo modo possiamo affermare che \[\dim\left(S\cap T\right) = 3+2-4 = 1\] Ora ci basterebbe vedere un vettore che sta sia in $S$ sia in $T$. Effettivamente in questo caso è facile: in $S$ prendiamo la somma tra il primo e l'ultimo: risulta \(\begin{bmatrix}2&0&0&0\end{bmatrix}^T\) che è linearmente dipendente dal primo vettore della base di $T$, quindi questa sarebbe già la conclusione dell'esercizio.
Immaginiamo però di non aver visto tutto questo. Un vettore appartiene all'intersezione se appartiene a $S$ e anche a $T$. Allora possiamo prendere dei generici coefficienti e scrivere \[B_S \begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix} = B_T\begin{bmatrix}d\\e\end{bmatrix}\] dove il membro di sinistra è il generico vettore di $S$ e il membro di destra è il generico vettore di $T$. Svolgendo i calcoli si ottiene quanto segue: \[\begin{bmatrix}a+c\\2b\\b\\-a+c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}d\\e\\e\\2e\end{bmatrix}\] Portiamo tutto a sinistra: \[\begin{bmatrix}a+c-d\\2b-e\\b-e\\-a+c-2e\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}\] Questo equivale al seguente sistema lineare omogeneo: \[\begin{bmatrix}1&0&1&-1&0\\0&2&0&0&-1\\0&1&0&0&-1\\-1&0&1&0&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\\e\end{bmatrix} = \textbf{0}\] Risolviamo il sistema con il solito metodo (Gauss + Rouchè-Capelli). La matrice subisce le seguenti trasformazioni: \[\begin{bmatrix}1&0&1&-1&0\\0&2&0&0&-1\\0&1&0&0&-1\\0&0&2&-1&-2\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}1&0&1&-1&0\\0&2&0&0&-1\\0&0&0&0&-\frac{1}{2}\\0&0&2&-1&-2\end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix}1&0&1&-1&0\\0&2&0&0&-1\\0&0&2&-1&-2\\0&0&0&0&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}\] Ora dall'ultima riga si vede immediatamente che deve essere \[e=0\]
Si può quindi procedere con \[\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&1&d\\0&2&0&0\\0&0&2&d\end{array}\right]\] Da qui si ricava facilmente la soluzione: \[c=\frac{d}{2}\]\[b=0\]\[a=d-\frac{d}{2} = \frac{d}{2}\] In conclusione la soluzione del sistema è \[\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\\e\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{d}{2}\\0\\\frac{d}{2}\\d\\0\end{bmatrix} = \frac{d}{2}\begin{bmatrix}1\\0\\1\\2\\0\end{bmatrix}\] Allora il generico vettore dell'intersezione lo puoi trovare moltiplicando $B_S$ per \(\begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}^T\) oppure moltiplicando $B_T$ per \(\begin{bmatrix}2&0\end{bmatrix}^T\). Nel primo caso ottieni \(\begin{bmatrix}2&0&0&0\end{bmatrix}^T\) mentre nel secondo ottieni di nuovo \(\begin{bmatrix}2&0&0&0\end{bmatrix}^T\), cioè quello che ci aspettavamo.
Immaginiamo però di non aver visto tutto questo. Un vettore appartiene all'intersezione se appartiene a $S$ e anche a $T$. Allora possiamo prendere dei generici coefficienti e scrivere \[B_S \begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix} = B_T\begin{bmatrix}d\\e\end{bmatrix}\] dove il membro di sinistra è il generico vettore di $S$ e il membro di destra è il generico vettore di $T$. Svolgendo i calcoli si ottiene quanto segue: \[\begin{bmatrix}a+c\\2b\\b\\-a+c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}d\\e\\e\\2e\end{bmatrix}\] Portiamo tutto a sinistra: \[\begin{bmatrix}a+c-d\\2b-e\\b-e\\-a+c-2e\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}\] Questo equivale al seguente sistema lineare omogeneo: \[\begin{bmatrix}1&0&1&-1&0\\0&2&0&0&-1\\0&1&0&0&-1\\-1&0&1&0&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\\e\end{bmatrix} = \textbf{0}\] Risolviamo il sistema con il solito metodo (Gauss + Rouchè-Capelli). La matrice subisce le seguenti trasformazioni: \[\begin{bmatrix}1&0&1&-1&0\\0&2&0&0&-1\\0&1&0&0&-1\\0&0&2&-1&-2\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}1&0&1&-1&0\\0&2&0&0&-1\\0&0&0&0&-\frac{1}{2}\\0&0&2&-1&-2\end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix}1&0&1&-1&0\\0&2&0&0&-1\\0&0&2&-1&-2\\0&0&0&0&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}\] Ora dall'ultima riga si vede immediatamente che deve essere \[e=0\]
Si può quindi procedere con \[\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&1&d\\0&2&0&0\\0&0&2&d\end{array}\right]\] Da qui si ricava facilmente la soluzione: \[c=\frac{d}{2}\]\[b=0\]\[a=d-\frac{d}{2} = \frac{d}{2}\] In conclusione la soluzione del sistema è \[\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\\e\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{d}{2}\\0\\\frac{d}{2}\\d\\0\end{bmatrix} = \frac{d}{2}\begin{bmatrix}1\\0\\1\\2\\0\end{bmatrix}\] Allora il generico vettore dell'intersezione lo puoi trovare moltiplicando $B_S$ per \(\begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}^T\) oppure moltiplicando $B_T$ per \(\begin{bmatrix}2&0\end{bmatrix}^T\). Nel primo caso ottieni \(\begin{bmatrix}2&0&0&0\end{bmatrix}^T\) mentre nel secondo ottieni di nuovo \(\begin{bmatrix}2&0&0&0\end{bmatrix}^T\), cioè quello che ci aspettavamo.
Grazie mille! Da solo non ci sarei mai arrivato! Volevo chiedere anche quali sono le equazioni cartesiane degli spazi S e T? Come si trovano?
Ho fatto questa domanda su quali sono le equazioni cartesiane di S e T, perché forse un altro modo per trovare la dimensione della loro intersezione è fare il sistema composto dalle equazioni cartesiane di S e T, poi trovare il rango della matrice di questo sistema e infine da questo calcolare la dimensione dell'intersezione, facendo l'ordine della matrice del sistema meno il rango? Sbaglio? Si può fare così?
Ciao, lo faccio per $T$ così vedi il procedimento.
Un generico vettore \(\begin{bmatrix}x&y&z&t\end{bmatrix}^T\) appartiene a $T$ se è combinazione lineare dei vettori che formano una sua base, cioè se è linearmente dipendente da essi. Allora possiamo costruire la matrice $$\begin{bmatrix}1&0&x\\0&1&y\\0&1&z\\0&2&t\end{bmatrix}$$ e imporre che il suo rango sia $2$. Utilizziamo la riduzione per righe e otteniamo $$\begin{bmatrix}1&0&x\\0&1&y\\0&0&z-y\\0&0&t-2y\end{bmatrix}$$ A questo punto deve valere $$\begin{cases}z-y=0 \\ t-2y=0\end{cases}$$ e queste sono le equazioni richieste.
Un generico vettore \(\begin{bmatrix}x&y&z&t\end{bmatrix}^T\) appartiene a $T$ se è combinazione lineare dei vettori che formano una sua base, cioè se è linearmente dipendente da essi. Allora possiamo costruire la matrice $$\begin{bmatrix}1&0&x\\0&1&y\\0&1&z\\0&2&t\end{bmatrix}$$ e imporre che il suo rango sia $2$. Utilizziamo la riduzione per righe e otteniamo $$\begin{bmatrix}1&0&x\\0&1&y\\0&0&z-y\\0&0&t-2y\end{bmatrix}$$ A questo punto deve valere $$\begin{cases}z-y=0 \\ t-2y=0\end{cases}$$ e queste sono le equazioni richieste.
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