Come si risolve un sistema lineare con CRAMER

[prapa1]

HO QUESTO SISTEMA
$\{(ax + y + z = a),(x+ay+z=a),(x+y+az=a):}$

mi trovo la matrice incompleta A e calcolo il determinante

det A = det $|(a,1,1),(1,a,1),(1,1,a)|$ = (a-1)(a-1)(a+2)
dunque so che il sistema per avere una soluzione possibile deve avere detA diverso da zero giusto? quidi:
- a $!=$ 1
- a $!=$ -2

le soluzioni saranno
x=a$(a-1)^2$
y=a$(a-1)^2$
z=$a^2$(a-1)

ORA PRò DEVO VEDERE I CASI IN CUI
-a=1
-a=-2

dalla soluzione dell'esercizio mi viene che
con a=1 il sistema indeterminato e ammette $$\infty$^2$ soluzioni
con a= il sistema è impossibile

qulcuno sa farmi vedere i passagg che occorre fare per arrivare a questi ultimi risultati?

ps:non ho mai fatto un sistema lineare e nel libro non ho neanche un esercizio svolto..vi sarei veramente grata semi aiutaste GRAZIE

[krek1]

Se la seconda e la terza riga sono una combinazione lineare della prima allora il sistema e indeterminato cioè ammette infinite soluzioni.
Se il determinante è 0 e la seconda o terza riga non sono combinazioni lineari della prima il sistema è impossibile.


$\{(ax + y + z = a),(x+ay+z=a),(x+y+az=a):}$



$det A = det |(a,1,1),(1,a,1),(1,1,a)| = (a-1)(a-1)(a+2)$


Una delle proprietà del determinate è che se due righe o due colonne sono uguali il determinante della matrice è zero (dovresti studiare le proprietà delle matrici), in generale se una riga (colonna) è una combinazione lineare di un altra riga (colonna) il determinante è zero.
In questo caso bisogna andare a vedere la matrice completa per vedere se il sistema è indeterminato o impossibile.

in pratica tu hai :

prima matrice con $a=1$ si ha $((1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1))$

e qui è palese che il sistema per $a=1$ è indeterminato.

seconda matrice con $a=-2$ si ha $((-2,1,1,-2),(1,-2,1,-2),(1,1,-2,-2))$

Qui per vedere che il sistema è impossibile bisogna far vedere che almeno una riga non può essere combinazione lineare di un altra.
Che significa andare a vedere il rango della matrice completa.
Un sistema e' impossibile se il rango della matrice completa e' diverso dal rango della matrice incompleta.
Il rango di una matrice http://www.ripmat.it/mate/a/ai/aibbce.html.

Operativamente se ancora non conosci il rango e le operazioni con le matrici.

data la matrice completa

$((a_11,a_12,a_13,a_14),(a_21,a_22,a_23,a_24),(a_31,a_32,a_33,a_34))$

sapendo che il determinante della matrice incompleta è zero

fai i seguenti calcoli

dividi $(a_1j)/(a_2j)$ se il valore che ottieni è sempre lo stesso vuol dire che la prima e la seconda riga sono combinazioni lineari una dell'altra e quindi passi a dividere $(a_1j)/(a_3j)$ se anche qui i valori sono tutti uguali vuol dire che la terza è anche combinazione lineare della prima e quindi il sistema è indeterminato.
Altrimenti il sistema è impossibile.