Come si dimostra questa uguaglianza? (prodotto matrice vettori)

[lorrr96]

Nello studio delle forme bilineari si dimostra che \(\displaystyle b(\mathbf{u},\mathbf{v})=b(\mathbf{v},\mathbf{u}) \) se e solo se \(\displaystyle A^T=A \) (dove \(\displaystyle A \) è una matrice associata alla forma \(\displaystyle b \)).
Per dimostrare ciò il mio libro si avvale dell'uguaglianza \(\displaystyle \mathbf{y}^TA\mathbf{x}=\mathbf{x}^TA^T\mathbf{y} \) dove \(\displaystyle \mathbf{x}\) e \(\displaystyle \mathbf{y} \) sono vettori colonna di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) e \(\displaystyle A \) è una matrice quadrata di ordine \(\displaystyle n \). Non riesco a capire come si possa dimostrare quest'ultima. Qualcuno ha qualche idea?

[luca97xd]

Una forma bilineare $b:V_n\times V_n \rightarrow \mathbb{K}$ è simmetrica se e solo se la sua matrice $A$ (rispetto ad una base qualsiasi) è simmetrica.

Sia $(\mathbf{e_1},...,\mathbf{e_n})$ una base di $V_n$ fissata.Supponiamo che $b$ sia un prodotto scalare. Il generico elemento della matrice $A$ è $a_{ij}=b(\mathbf{e_i},\mathbf{e_j})$. Per ipotesi $b(\mathbf{e_i},\mathbf{e_j})=b(\mathbf{e_j},\mathbf{e_i})$, cioè $a_{ij}=a_{ji}$ per ogni $i,j=1,..., n$, per cui $A=A^T$. Viceversa, supponiamo che la matrice $A$ della forma bilineare $b$ sia simmetrica. Se $\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n}x_i\mathbf{e_i}$ e $\mathbf{w}=\sum_{i=1}^{n}y_i\mathbf{e_i}$ si ha $b(\mathbf{v},\mathbf{w})=\mathbf{x}^TA\mathbf{y}=\mathbf{x}^TA^T\mathbf{y}=(\mathbf{x}^TA^T\mathbf{y})^T=\mathbf{y}^TA\mathbf{x}=b(\mathbf{w},\mathbf{v})$. Dunque $b$ è un prodotto scalare.

[luca97xd]

Ps. nota che $A=A^T\Rightarrow \mathbf{x}^TA\mathbf{y}=\mathbf{x}^TA^T\mathbf{y}$. Inoltre, da che $\mathbf{x},\mathbf{y}\in Mat_{n1}(\mathbb{K})$ e $A\in Mat_{n n}(\mathbb{K})$ si ha $\mathbf{x}^TA^T\mathbf{y}\in Mat_{11}(\mathbb{K})\Rightarrow \mathbf{x}^TA^T\mathbf{y}=(\mathbf{x}^TA^T\mathbf{y})^T$.

[lorrr96]

Ah giusto! in effetti bastava considerare che \(\displaystyle \mathbf{y}^TA\mathbf{x}\) è una matrice 1x1, ossia un elemento del campo \(\displaystyle \mathbb{K} \). Da cui \(\displaystyle \mathbf{y}^TA\mathbf{x}=(\mathbf{y}^TA\mathbf{x})^T=\mathbf{x}^TA^T\mathbf{y}\).

Grazie