Come si definisce l'angolo tra due vettori complessi?
Ho provato a cercare un po' in rete ma non ho trovato.
Se il coseno tra due vettori complessi b e c si definisse allo stesso modo che in R, succederebbe questo:
$|b| = |c| cos\theta$
Supponiamo $b = (4, 3)$ e $c=(3i, 4)$
Allora $5 = 5 cos\theta$
Supponendo valida la definizione del coseno come in R: $cos\theta = (<(4, 3),(3i, 4)>)/25 = (12i + 12)/25$
$5 = 5 (12i + 12)/25$ ops
Se il coseno tra due vettori complessi b e c si definisse allo stesso modo che in R, succederebbe questo:
$|b| = |c| cos\theta$
Supponiamo $b = (4, 3)$ e $c=(3i, 4)$
Allora $5 = 5 cos\theta$
Supponendo valida la definizione del coseno come in R: $cos\theta = (<(4, 3),(3i, 4)>)/25 = (12i + 12)/25$
$5 = 5 (12i + 12)/25$ ops
Risposte
Ciao.
Premetto che non sono più "dentro" queste argomentazioni da molti anni, ma ricordo che quando si ha a che fare con spazi vettoriali sul campo $CC$, il prodotto (a valori nel campo) tra due vettori non è più il prodotto scalare usuale (o standard); in questi casi si prende in considerazione il cosiddetto prodotto hermitiano.
Saluti.
Premetto che non sono più "dentro" queste argomentazioni da molti anni, ma ricordo che quando si ha a che fare con spazi vettoriali sul campo $CC$, il prodotto (a valori nel campo) tra due vettori non è più il prodotto scalare usuale (o standard); in questi casi si prende in considerazione il cosiddetto prodotto hermitiano.
Saluti.
Ciao Alessandro,
è vero, il prodotto hermitiano... ipotizziamo allora che la definizione del coseno (oh, non la trovo: ma non è che non ha senso?) sia così:
$ cos\theta = (b^H c )/(|b|*|c|)$ = $ ((3,4)(3i,4))/25$
In questo caso $(3, 4)$ ha componenti reali, quindi alla fine è come fare il prodotto scalare "normale"...
p.s. In realtà questo fatto del coseno fra vettori complessi mi serve perché ieri (in un altro thread) avevo provato a usare il procedimento di Gram-Schmidt in una forma che mi fosse più famigliare, o più facilmente memorizzabile. Per i vettori reali mi pare funzioni (almeno come conti, a livello teorico, infatti, chiedevo), ma per i vettori complessi mi servirebbe quella def.
è vero, il prodotto hermitiano... ipotizziamo allora che la definizione del coseno (oh, non la trovo: ma non è che non ha senso?) sia così:
$ cos\theta = (b^H c )/(|b|*|c|)$ = $ ((3,4)(3i,4))/25$
In questo caso $(3, 4)$ ha componenti reali, quindi alla fine è come fare il prodotto scalare "normale"...
p.s. In realtà questo fatto del coseno fra vettori complessi mi serve perché ieri (in un altro thread) avevo provato a usare il procedimento di Gram-Schmidt in una forma che mi fosse più famigliare, o più facilmente memorizzabile. Per i vettori reali mi pare funzioni (almeno come conti, a livello teorico, infatti, chiedevo), ma per i vettori complessi mi servirebbe quella def.
La definizione l'ho trovata. E' come dici tu:
"Siano V uno spazio vettoriale euclideo e $||*||$ la norma indotta dal prodotto interno *. Allora si pone:
$cos\theta = v*w/(||w|| ||v||) $.
L'errore che avevo fatto credo sia qui, all'inizio:
Qui non potevo usare la trigonometria perché i miei vettori sono complessi, quindi qui ho applicato erroneamente il coseno, trattandolo come se fosse il coseno di vettori reali.
"Siano V uno spazio vettoriale euclideo e $||*||$ la norma indotta dal prodotto interno *. Allora si pone:
$cos\theta = v*w/(||w|| ||v||) $.
L'errore che avevo fatto credo sia qui, all'inizio:
"jitter":
$ |b| = |c| cos\theta $
Qui non potevo usare la trigonometria perché i miei vettori sono complessi, quindi qui ho applicato erroneamente il coseno, trattandolo come se fosse il coseno di vettori reali.
Bene.
Tutto a posto, allora.
Saluti.
Tutto a posto, allora.
Saluti.
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