Come scrivere la matrice partendo dagli autovalori?
Volevo fare un paio di domande a proposito di alcuni esercizi che mi sono ritrovata ad affrontare, ad esempio:
1.Scrivere una matrice 4x4 diagonalizzabile ma non diagonale avente 0 come autovalore di molteplicità algebrica 2
(In questo caso ho pensato al fatto che una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile e quindi ho scritto una matrice che nella diagonale principale ha gli autovalori richiesti e simmetricamente ho aggiunto due numeri per renderla non diagonale. Potevo anche usare una matrice triangolare superiore inserendo nella diagonale principale gli autovalori?)
2.Scrivere una matrice con autovalori 1 e 2 di molteplicità geometrica rispettivamente 2 e 1 e non diagonalizzabile
(quindi con la molteplicità algebrica diversa dalla molteplicità geometrica per almeno un autovalore ,ed in questo caso la maggior parte delle volte mi ritrovo a provare a tentativi)
3.Scrivere una matrice ortogonalmente diagonalizzabile con autovalori 4 e 6 e giustificare la risposta
(quindi la matrice deve essere simmetrica e potrei applicare il metodo dell'esercizio 1)
4.Scrivere se esiste, una matrice 4x4 di rango 2 ed autovalori 1,2,3 e giustificarne la risposta
(Io dalla teoria avevo capito che una matrice con rango non massimo avrà l'autovalore delle righe "eliminate" uguale a 0, quindi mi verrebbe da dire che non esiste)
Le mie domande quindi sono :Le mie considerazioni possono essere giuste o sono fuori strada? Esiste un metodo che mi permetta di arrivare ad una conclusione senza dover andare a tentativi? (e di conseguenza perdere un sacco di tempo
)
1.Scrivere una matrice 4x4 diagonalizzabile ma non diagonale avente 0 come autovalore di molteplicità algebrica 2
(In questo caso ho pensato al fatto che una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile e quindi ho scritto una matrice che nella diagonale principale ha gli autovalori richiesti e simmetricamente ho aggiunto due numeri per renderla non diagonale. Potevo anche usare una matrice triangolare superiore inserendo nella diagonale principale gli autovalori?)
2.Scrivere una matrice con autovalori 1 e 2 di molteplicità geometrica rispettivamente 2 e 1 e non diagonalizzabile
(quindi con la molteplicità algebrica diversa dalla molteplicità geometrica per almeno un autovalore ,ed in questo caso la maggior parte delle volte mi ritrovo a provare a tentativi)
3.Scrivere una matrice ortogonalmente diagonalizzabile con autovalori 4 e 6 e giustificare la risposta
(quindi la matrice deve essere simmetrica e potrei applicare il metodo dell'esercizio 1)
4.Scrivere se esiste, una matrice 4x4 di rango 2 ed autovalori 1,2,3 e giustificarne la risposta
(Io dalla teoria avevo capito che una matrice con rango non massimo avrà l'autovalore delle righe "eliminate" uguale a 0, quindi mi verrebbe da dire che non esiste)
Le mie domande quindi sono :Le mie considerazioni possono essere giuste o sono fuori strada? Esiste un metodo che mi permetta di arrivare ad una conclusione senza dover andare a tentativi? (e di conseguenza perdere un sacco di tempo
)
Risposte
Beh, puoi fare una verifica per vedere se tutto funziona o no.
L'hai fatta?
L'hai fatta?
"gugo82":
Beh, puoi fare una verifica per vedere se tutto funziona o no.
L'hai fatta?
Si l’ho fatta e torna tutto. Volevo sapere se c’erano altri metodi più veloci, soprattutto per trovare la matrice non diagonalizzabile con gli autovalori richiesti, perché andando a tentativi perdo un sacco di tempo
Blocchetti di Jordan...
Un blocco $2 xx 2$ del tipo:
$((lambda , 1),(0, lambda))$
ha autovalore $lambda$ di molteplicità algebrica $2$ e geometrica $1$.
Analogamente un blocco $3 xx 3$ del tipo:
$((lambda , 1 , 0), (0 , lambda , 1), (0 , 0 , lambda))$
ha autovalore $lambda$ con molteplicità algebrica $3$ e geometrica $1$; mentre una coppia di due blocchi $1 xx 1$ e $2 xx 2$:
$((lambda , 0 , 0), (0, lambda, 1), (0, 0, lambda))$
ha autovalore $lambda$ di molteplicità algebrica $3$ e geometrica $2$; etc...
Un blocco $2 xx 2$ del tipo:
$((lambda , 1),(0, lambda))$
ha autovalore $lambda$ di molteplicità algebrica $2$ e geometrica $1$.
Analogamente un blocco $3 xx 3$ del tipo:
$((lambda , 1 , 0), (0 , lambda , 1), (0 , 0 , lambda))$
ha autovalore $lambda$ con molteplicità algebrica $3$ e geometrica $1$; mentre una coppia di due blocchi $1 xx 1$ e $2 xx 2$:
$((lambda , 0 , 0), (0, lambda, 1), (0, 0, lambda))$
ha autovalore $lambda$ di molteplicità algebrica $3$ e geometrica $2$; etc...
Scrivo una cosa che magari non ti servirà molto, ma che è abbastanza carina (toh magari usala se hai bisogno di farti degli esempi).
Se \( A \) e \( B \) sono due matrici \( n\times n \) a coefficienti in \( K \), che hanno tra gli autovalori rispettivamente \( \lambda \) e \( \mu \), qual è una matrice che ha tra gli autovalori \( \lambda + \mu \)? e qual è una matrice che ha tra gli autovalori \( \lambda\mu \)?
Puoi prendere queste, rispettivamente: \( A\otimes I_n \) + \( I_n\otimes B \) e \( A\otimes B \). Il \( \otimes \) è il prodotto di Kronecker di matrici (o, se vuoi, il prodotto tensoriale delle applicazioni lineari associate a quelle matrici).
Nota che ora conosci anche un modo molto easy per costruire polinomi che abbiano tra le radici la somma/il prodotto di due numeri dati.
Se \( A \) e \( B \) sono due matrici \( n\times n \) a coefficienti in \( K \), che hanno tra gli autovalori rispettivamente \( \lambda \) e \( \mu \), qual è una matrice che ha tra gli autovalori \( \lambda + \mu \)? e qual è una matrice che ha tra gli autovalori \( \lambda\mu \)?
Puoi prendere queste, rispettivamente: \( A\otimes I_n \) + \( I_n\otimes B \) e \( A\otimes B \). Il \( \otimes \) è il prodotto di Kronecker di matrici (o, se vuoi, il prodotto tensoriale delle applicazioni lineari associate a quelle matrici).
Nota che ora conosci anche un modo molto easy per costruire polinomi che abbiano tra le radici la somma/il prodotto di due numeri dati.
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