Come riconosco una isometria?
Salve! Avrei bisogno di un aiutino con questo esercizio...
ho un'applicazione che va da $E^2$ in $E^2$ dove
x' = 3/4 x + $sqrt(7)$/4 y +1
y' = $sqrt(7)/4 x - 3/4 y
devo verificare che questa applicazione così definita è una isometria.
Come faccio?
ho un'applicazione che va da $E^2$ in $E^2$ dove
x' = 3/4 x + $sqrt(7)$/4 y +1
y' = $sqrt(7)/4 x - 3/4 y
devo verificare che questa applicazione così definita è una isometria.
Come faccio?
Risposte
Tutte e sole le isometrie di $E_2$ sono nella forma
$((x'),(y'))=A((x),(y))+((b_1),(b_2))$
ove $A$ è una matrice ortogonale $2times 2$, ovvero tale che $A*A^t=I$.
Quindi ti basta verificare che la matrice $A=((3/4,\frac{sqrt(7)}{4}),(\frac{sqrt(7)}{4},-3/4))$ sia ortogonale.
$((x'),(y'))=A((x),(y))+((b_1),(b_2))$
ove $A$ è una matrice ortogonale $2times 2$, ovvero tale che $A*A^t=I$.
Quindi ti basta verificare che la matrice $A=((3/4,\frac{sqrt(7)}{4}),(\frac{sqrt(7)}{4},-3/4))$ sia ortogonale.
...basta così poco?!
Non devo verificare che viene in qualche modo conservata la distanza?
Non devo verificare che viene in qualche modo conservata la distanza?
Sì, basta così poco. E' anche facile da dimostrarlo.
Una trasformazione nella forma
$((x'),(y'))=A((x),(y))+((b_1),(b_2))$
conserva le distanze se e solo se $A*A^t=I$.
Una trasformazione nella forma
$((x'),(y'))=A((x),(y))+((b_1),(b_2))$
conserva le distanze se e solo se $A*A^t=I$.
Grazie per la risposta, ora mi sento più sollevata... 
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