Come provare che questa varietà differenziabile di dim 3 è connessa e compatta?
Sia $X=\{(x,y,z,t) | x^2+6y^2+4z^2+t^2=1 \}$.
Ho provato che questa è una varietà differenziabile di dimensione $3$. Devo provare che $X$ è connesso e compatto.
Come potrei procedere?
La mia idea, pensando in dimensione $2$ all'ellissoide, era di provare che $X$ è omeomorfo alla sfera $S^3$.
Il mio candadato omeomorfismo è $$\varphi: S^3 \rightarrow X$$
$$ (x,y,z,t) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^2+6y^2+4z^2+t^2}} (x,y,z,t)=\frac{1}{\sqrt{1+5y^2+3z^2}} (x,y,z,t).$$
(ottenuta associando a un punto sulla sfera $\bar x$ il punto su $X$ dato dall'intersezione di $X$ con la retta passante per l'origine e $\bar x$).
Il problema è però che l'inversa mi viene: $$ (x,y,z,t) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-3z^2-5^2}} (x,y,z,t),$$ che ha problemi al denominatore.
Grazie mille per l'aiuto!!
Ho provato che questa è una varietà differenziabile di dimensione $3$. Devo provare che $X$ è connesso e compatto.
Come potrei procedere?
La mia idea, pensando in dimensione $2$ all'ellissoide, era di provare che $X$ è omeomorfo alla sfera $S^3$.
Il mio candadato omeomorfismo è $$\varphi: S^3 \rightarrow X$$
$$ (x,y,z,t) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^2+6y^2+4z^2+t^2}} (x,y,z,t)=\frac{1}{\sqrt{1+5y^2+3z^2}} (x,y,z,t).$$
(ottenuta associando a un punto sulla sfera $\bar x$ il punto su $X$ dato dall'intersezione di $X$ con la retta passante per l'origine e $\bar x$).
Il problema è però che l'inversa mi viene: $$ (x,y,z,t) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-3z^2-5^2}} (x,y,z,t),$$ che ha problemi al denominatore.
Grazie mille per l'aiuto!!
Risposte
Credo che sia una buona idea provare che la tua varieta' e' isomorfa alla sfera $S^3$. Tuttavia non credo che la tua mappa funzioni (e a dire il vero non capisco neanche bene come e' definita).
Suggerirei semplicemente di riscalare gli assi con un'affinita'. Definirei l'affinita' come segue
\[
(x,y,z,t) \mapsto (x,\sqrt{3} y, 2z,t).
\]
Se usiamo $(\xi,\eta,\zeta,\tau)$ come coordinate nel codominio, l'immagine della tua varieta' sara' proprio $\{ \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 + \tau^2 = 1 \}$ che e' la sfera $S^3$ immersa in $\mathbb{R}^4$.
Suggerirei semplicemente di riscalare gli assi con un'affinita'. Definirei l'affinita' come segue
\[
(x,y,z,t) \mapsto (x,\sqrt{3} y, 2z,t).
\]
Se usiamo $(\xi,\eta,\zeta,\tau)$ come coordinate nel codominio, l'immagine della tua varieta' sara' proprio $\{ \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 + \tau^2 = 1 \}$ che e' la sfera $S^3$ immersa in $\mathbb{R}^4$.
Grazie mille davvero!!!
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