Come eliminare a priori i vettori linearmente dipendenti

[BoG3]

Ciao a tutti, mi trovo con un quesito:
Devo trovare la dimensione ed una base del seguente sottospazio:

$S={v_1=\((6),(0),(5)), v_2=\((-1),(5),(0)), v_3=\((5),(5),(5))}$

Ora è facile notare che $v_3 = v_1 + v_2$, quindi mi bastano $v_1$ e $v_2$ per descrivere il mio sottospazio e dato che tra loro non sono linearmente dipendenti, ne formano anche una base e la dimensione della base è $2$. Ora vorrei chedervi se questa puo' andare come risposta alla domanda "trovare una base e dimensione di $S$" ?

Poi vorrei chiedervi dove sbaglio in questo caso:
supponiamo io non me ne accorga e tenti di portare a scala la matrice associata:

$\((6,-1,5),(0,5,5),(5,0,5))$ moltiplico la prima riga per $5/6$ e sottraggo la terza:

$\((6,-1,5),(0,5,5),(0,-5/6,-5/6))$ la terza riga è una combinazione lineare della seconda
(questo perchè è proporzionale alla seconda, quindi $EE\lambda\inRR : \text(riga_3) = \lambda*\text(riga_2)$, quindi la matrice a scala è:

$\((6,-1,5),(0,5,5),(0,0,0))$

quindi per ricavarmi una base risolvo il sistema:

$\{(6x-y+5z=0),(5y+5z=0):}$ da cui:

$y=-z; x=z; z=t : t\inRR$ ... dove sta l'inghippo ?

[minomic]

Ciao, l'ultimo passaggio che fai è sbagliato: quel sistema non ti fa trovare la base, ma il Ker (nucleo) dell'applicazione lineare associata a quella matrice. Per la base basta prendere i vettori linearmente indipendenti, cioè quelli corrispondenti a pivot non nulli, ovvero il primo e il secondo.