Come determino gli autovettori di un'applicazione lineare?
Come da titolo, come determino gli autovettori di un'applicazione lineare? Dopo svariate ore perse su internet a cercare una risposta mi rivolgo a voi... Magri se qualcuno può spiegarmelo partendo dal concetto di matrice associata, oppure con un esempio... Grazie mille!
Risposte
@Mandiatutti,
vorresti dire, propriamente, di un \( f \in End_K(V) \), ovvero di un endomorfismo..
... per avere i suoi autovettori devi considerare gli autospazi relativi agli autovalori dell'endomorfismo (per avere gli autovalori devi trovarti il polinomio caratteristico). Proponi qualche esempio di esercizio.. 
Saluti
"Mandiatutti":
Come da titolo, come determino gli autovettori di un'applicazione lineare? Dopo svariate ore perse su internet a cercare una risposta mi rivolgo a voi... Magri se qualcuno può spiegarmelo partendo dal concetto di matrice associata, oppure con un esempio... Grazie mille!
vorresti dire, propriamente, di un \( f \in End_K(V) \), ovvero di un endomorfismo..
... per avere i suoi autovettori devi considerare gli autospazi relativi agli autovalori dell'endomorfismo (per avere gli autovalori devi trovarti il polinomio caratteristico). Proponi qualche esempio di esercizio.. Saluti
@garnak.olegovitc
Esattamente di un endomorfismo!
$ T:R^3->R^3 $
$ (x_1,x_2,x_3)|->(3x_1-2x_3,-2x_1+x_2+2x_3,4x_1-3x_3) $
Se potessi spiegarmi solamente l'algoritmo per calcolare la matrice formata dagli autovettori... Grazie mille!
Esattamente di un endomorfismo!
$ T:R^3->R^3 $
$ (x_1,x_2,x_3)|->(3x_1-2x_3,-2x_1+x_2+2x_3,4x_1-3x_3) $
Se potessi spiegarmi solamente l'algoritmo per calcolare la matrice formata dagli autovettori... Grazie mille!
@Mandiatutti,
procediamo per gradi, per prima cosa devi ricavarti la matrice associata all'endomorfismo rispetto ad una base, io ti consiglio quella canonica.. sai come fare?
Saluti
P.S.=
non esiste alcuna matrice degli autovettori, forse volevi dire la matrice degli autovalori o roba simile!
"Mandiatutti":
@garnak.olegovitc
Esattamente di un endomorfismo!
$ T:R^3->R^3 $
$ (x_1,x_2,x_3)|->(3x_1-2x_3,-2x_1+x_2+2x_3,4x_1-3x_3) $
Se potessi spiegarmi solamente l'algoritmo per calcolare la matrice formata dagli autovettori... Grazie mille!
procediamo per gradi, per prima cosa devi ricavarti la matrice associata all'endomorfismo rispetto ad una base, io ti consiglio quella canonica.. sai come fare?
Saluti
P.S.=
"Mandiatutti":
... la matrice formata dagli autovettori...
non esiste alcuna matrice degli autovettori, forse volevi dire la matrice degli autovalori o roba simile!
Vediamo... può essere che si faccia così?
Rispetto alla base canonica:
$ a_1,_1=(1\cdot 3)-(2\cdot0)=3 $
$ a_1,_2=(-2\cdot 1)+(0\cdot1)+(0\cdot2)=-2 $
$ a_1,_3=(4\cdot 1)+(0\cdot0)-(3\cdot0)=4 $
$ a_2,_1=(0\cdot 3)+(1\cdot0)-(2\cdot0)=0 $
.
.
.
E così via per tutte le altre coordinate della matrice.
So che c'è un altro metodo, am trovo molto più semplice questo qua...
Alla fine la matrice associata all'applicazione rispetto alla base canonica di $ R^3 $ mi risulta:
$ ( ( 3 , -2 , 4 ),( 0 , 1 , 0 ),( -2 , 2 , -3 ) ) $
p.s. Si, mi sono confuso, degli autovalori, non degli autovettori
Rispetto alla base canonica:
$ a_1,_1=(1\cdot 3)-(2\cdot0)=3 $
$ a_1,_2=(-2\cdot 1)+(0\cdot1)+(0\cdot2)=-2 $
$ a_1,_3=(4\cdot 1)+(0\cdot0)-(3\cdot0)=4 $
$ a_2,_1=(0\cdot 3)+(1\cdot0)-(2\cdot0)=0 $
.
.
.
E così via per tutte le altre coordinate della matrice.
So che c'è un altro metodo, am trovo molto più semplice questo qua...
Alla fine la matrice associata all'applicazione rispetto alla base canonica di $ R^3 $ mi risulta:
$ ( ( 3 , -2 , 4 ),( 0 , 1 , 0 ),( -2 , 2 , -3 ) ) $
p.s. Si, mi sono confuso, degli autovalori, non degli autovettori
@Mandiatutti,
non capisco.. ti devi calcolare le immagini di \( e_1,e_2,e_3 \in \Bbb{R}^3 \) rispetto ad \( f \) e mettere in colonna le loro coordinate sempre rispetto alla base \( (e_1,e_2,e_3) \)...
Saluti
"Mandiatutti":
Vediamo... può essere che si faccia così?
Rispetto alla base canonica:
$ a_1,_1=(1\cdot 3)-(2\cdot0)=3 $
$ a_1,_2=(-2\cdot 1)+(0\cdot1)+(0\cdot2)=-2 $
$ a_1,_3=(4\cdot 1)+(0\cdot0)-(3\cdot0)=4 $
$ a_2,_1=(0\cdot 3)+(1\cdot0)-(2\cdot0)=0 $
.
.
.
E così via per tutte le altre coordinate della matrice.
So che c'è un altro metodo, am trovo molto più semplice questo qua...
Alla fine la matrice associata all'applicazione rispetto alla base canonica di $ R^3 $ mi risulta:
$ ( ( 3 , -2 , 4 ),( 0 , 1 , 0 ),( -2 , 2 , -3 ) ) $
p.s. Si, mi sono confuso, degli autovalori, non degli autovettori
non capisco.. ti devi calcolare le immagini di \( e_1,e_2,e_3 \in \Bbb{R}^3 \) rispetto ad \( f \) e mettere in colonna le loro coordinate sempre rispetto alla base \( (e_1,e_2,e_3) \)...Saluti
@Mandiatutti,
avendo quell'endomorfismo, e la generica immagine di un vettore di \( \Bbb{R}^3 \) ti basta vedere l'immagine di \((x_1,x_2,x_3)\) nei casi di \( (x_1,x_2,x_3)=e_1\), \( (x_1,x_2,x_3)=e_2\), \( (x_1,x_2,x_3)=e_3\)... ovvero? Almeno questo lo sai fare?
Saluti
"Mandiatutti":
@garnak.olegovitc
Esattamente di un endomorfismo!
\( f:\Bbb{R}^3\to \Bbb{R}^3 \)
$ f((x_1,x_2,x_3))=(3x_1-2x_3,-2x_1+x_2+2x_3,4x_1-3x_3) $
Se potessi spiegarmi solamente l'algoritmo per calcolare la matrice formata dagli autovettori... Grazie mille!
avendo quell'endomorfismo, e la generica immagine di un vettore di \( \Bbb{R}^3 \) ti basta vedere l'immagine di \((x_1,x_2,x_3)\) nei casi di \( (x_1,x_2,x_3)=e_1\), \( (x_1,x_2,x_3)=e_2\), \( (x_1,x_2,x_3)=e_3\)... ovvero? Almeno questo lo sai fare?
Saluti
$ ( ( 3 , 0 , -2 ),( -2 , 1 , 2 ),( 4 , 0 , -3 ) ) $
da cui:
$ ( ( 3-lambda , 0 , -2 ),( -2 , 1-lambda , 2 ),( 4 , 0 , -3-lambda ) ) $
calcolando il determinante rispetto la seconda riga la seconda colonna risulta:
$ (1-lambda)( ( 3-lambda , -2 ),( 4 , -3-lambda ) ) $
trovando lambda esso risulta:
$ lambda=+- 1 $
quindi per:
$ lambda= 1 $ la soluzione risulta: $ (0,t,0) $
$ lambda= -1 $ la soluzione risulta: $ (2/3t,t,-4/3t) $
Essendo che non ci sono abbastanza autovalori (perché la base dello spazio è $ R^3 $ e abbiamo solamente due $ lambda $) l'applicazione non è diagonalizzabile.
Tuttavia non ho capito una cosa: a cosa mi servono autovettori ed autovalori? contando che non ho ancora fatto molteplicità algebrica e geometrica (non so se servono in futuro per qualche applicazione) E soprattutto la matrice formata dagli autovettori è semplicemente questa: $ ( ( 3-lambda , 0 , -2 ),( -2 , 1-lambda , 2 ),( 4 , 0 , -3-lambda ) ) $ ?
da cui:
$ ( ( 3-lambda , 0 , -2 ),( -2 , 1-lambda , 2 ),( 4 , 0 , -3-lambda ) ) $
calcolando il determinante rispetto la seconda riga la seconda colonna risulta:
$ (1-lambda)( ( 3-lambda , -2 ),( 4 , -3-lambda ) ) $
trovando lambda esso risulta:
$ lambda=+- 1 $
quindi per:
$ lambda= 1 $ la soluzione risulta: $ (0,t,0) $
$ lambda= -1 $ la soluzione risulta: $ (2/3t,t,-4/3t) $
Essendo che non ci sono abbastanza autovalori (perché la base dello spazio è $ R^3 $ e abbiamo solamente due $ lambda $) l'applicazione non è diagonalizzabile.
Tuttavia non ho capito una cosa: a cosa mi servono autovettori ed autovalori? contando che non ho ancora fatto molteplicità algebrica e geometrica (non so se servono in futuro per qualche applicazione) E soprattutto la matrice formata dagli autovettori è semplicemente questa: $ ( ( 3-lambda , 0 , -2 ),( -2 , 1-lambda , 2 ),( 4 , 0 , -3-lambda ) ) $ ?
@Mandiatutti,
ok, ho fatto un po di conti, la matrice associata all'endomorfismo \( f \) è $$ M:=\begin{Vmatrix}
3 &0&-2 \\
-2&1&2 \\
4&0&3
\end{Vmatrix} $$ gli autovalori di \( f \) sono dati dall'eq. associata al polinomio caratteristico, il quale si ottiene valutando il determinante della seguente matrice $$ T:=\begin{Vmatrix}
3-\lambda&0&-2 \\
-2&1-\lambda&2 \\
4&0&3-\lambda
\end{Vmatrix} $$ ovvero, eseguendo Laplace rispetto alla seconda colonna, avremo \( \det(T) =(1-\lambda)((3-\lambda)^2+8))\), se non ho fatto male i calcoli.. l'eq. associata è \( \det(T) =(1-\lambda)((3-\lambda)^2+8))=0\) quali sono i valori di \( \lambda \)?
Saluti
ok, ho fatto un po di conti, la matrice associata all'endomorfismo \( f \) è $$ M:=\begin{Vmatrix}
3 &0&-2 \\
-2&1&2 \\
4&0&3
\end{Vmatrix} $$ gli autovalori di \( f \) sono dati dall'eq. associata al polinomio caratteristico, il quale si ottiene valutando il determinante della seguente matrice $$ T:=\begin{Vmatrix}
3-\lambda&0&-2 \\
-2&1-\lambda&2 \\
4&0&3-\lambda
\end{Vmatrix} $$ ovvero, eseguendo Laplace rispetto alla seconda colonna, avremo \( \det(T) =(1-\lambda)((3-\lambda)^2+8))\), se non ho fatto male i calcoli..
l'eq. associata è \( \det(T) =(1-\lambda)((3-\lambda)^2+8))=0\) quali sono i valori di \( \lambda \)?Saluti
No, a me non risulta l'elemento $ a_3,_3 $ della tua matrice associata. Non può essere quello, deve essere per forza -3 non 3.
Altrimenti non mi torna il risultato
Altrimenti non mi torna il risultato
@Mandiatutti,
ops vero ... hai ragione... la matrice giusta è
\[ M:=\begin{Vmatrix} 3 &0&-2 \\ -2&1&2 \\ 4&0&-3 \end{Vmatrix} \] ed \[ T:=\begin{Vmatrix} 3-\lambda&0&-2 \\ -2&1-\lambda&2 \\ 4&0&-3-\lambda \end{Vmatrix} \] ovvero, eseguendo Laplace rispetto alla seconda colonna, avremo \( \det(T) =(1-\lambda)((3-\lambda)(-3-\lambda)+8) \). l'eq. associata è \( \det(T) =(1-\lambda)((3-\lambda)(-3-\lambda)+8)=0 \), gli zeri di questa sono $$\lambda=1 \vee (3-\lambda)(-3-\lambda)+8=0 $$ facendo un po di calcoli viene fuori che $$(3-\lambda)(-3-\lambda)+8=-(3-\lambda)(3+\lambda)+8=-(9-\lambda^2)+8=-9+\lambda^2+8=\lambda^2-1=(\lambda -1)(\lambda +1)=0$$ in definitiva avremo come zeri $$\lambda=1 \vee \lambda=-1$$ da notare intanto che la \(m_{alg}(1)=2 \) mentre la \(m_{alg}(-1)=1 \). Ti ritrovi? Adesso però non capisco cosa vuoi di preciso, vuoi gli autospazi? Vuoi sapere se \( f \) è semplice? Vuoi una base di autovettori?
Saluti
"Mandiatutti":
No, a me non risulta l'elemento $ a_3,_3 $ della tua matrice associata. Non può essere quello, deve essere per forza -3 non 3.
Altrimenti non mi torna il risultato
ops vero ...
hai ragione... la matrice giusta è \[ M:=\begin{Vmatrix} 3 &0&-2 \\ -2&1&2 \\ 4&0&-3 \end{Vmatrix} \] ed \[ T:=\begin{Vmatrix} 3-\lambda&0&-2 \\ -2&1-\lambda&2 \\ 4&0&-3-\lambda \end{Vmatrix} \] ovvero, eseguendo Laplace rispetto alla seconda colonna, avremo \( \det(T) =(1-\lambda)((3-\lambda)(-3-\lambda)+8) \).
l'eq. associata è \( \det(T) =(1-\lambda)((3-\lambda)(-3-\lambda)+8)=0 \), gli zeri di questa sono $$\lambda=1 \vee (3-\lambda)(-3-\lambda)+8=0 $$ facendo un po di calcoli viene fuori che $$(3-\lambda)(-3-\lambda)+8=-(3-\lambda)(3+\lambda)+8=-(9-\lambda^2)+8=-9+\lambda^2+8=\lambda^2-1=(\lambda -1)(\lambda +1)=0$$ in definitiva avremo come zeri $$\lambda=1 \vee \lambda=-1$$ da notare intanto che la \(m_{alg}(1)=2 \) mentre la \(m_{alg}(-1)=1 \). Ti ritrovi? Adesso però non capisco cosa vuoi di preciso, vuoi gli autospazi? Vuoi sapere se \( f \) è semplice? Vuoi una base di autovettori?Saluti
Ora mi ritrovo! adesso diciamo che l'esercizio sarebbe finito, ho dato un'occhiata a molteplicità algebrica e molteplicità geometrica, quella algebrica ho capito come "calcolarla" basta vedere il grado di lambda nel polinomio caratteristico, ma non ho capito come calcolare quella geometrica dalla definizione ( $ dim(V_lambda(T)) $) non capisco cosa devo fare per calcolarla... Inoltre (e questa giuro che è l'ultima cosa) la matrice formata dagli autovettori come la trovo?
Grazie mille garnak.olegovitc!!!
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
P.s.
Ciò che hai indicato con $ m_alg $ Suppongo sia la molteplicità algebrica, ma perché due molteplicità algebriche? in questo caso la molteplicità algebrica legata a $ lambda $ non sarebbe 2?
adesso diciamo che l'esercizio sarebbe finito, ho dato un'occhiata a molteplicità algebrica e molteplicità geometrica, quella algebrica ho capito come "calcolarla" basta vedere il grado di lambda nel polinomio caratteristico, ma non ho capito come calcolare quella geometrica dalla definizione ( $ dim(V_lambda(T)) $) non capisco cosa devo fare per calcolarla... Inoltre (e questa giuro che è l'ultima cosa) la matrice formata dagli autovettori come la trovo? Grazie mille garnak.olegovitc!!!
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P.s.
Ciò che hai indicato con $ m_alg $ Suppongo sia la molteplicità algebrica, ma perché due molteplicità algebriche? in questo caso la molteplicità algebrica legata a $ lambda $ non sarebbe 2?
@Mandiatutti,
la molteplicità geometrica di un autovalore \(b \) è un intero \( n \) dove \( n=dim_\Bbb{R}(E_b^f)=dim_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)-rnk(\mathcal{M}^f_b) \), dove \(rnk(\mathcal{M}^f_b)\) è il rango della matrice associata all'autovalore \(b \) rispetto ad \( f \)
Saluti
P.S.=\(E_b^f \) è l'autospazio di \( b \) associato ad \( f \)
"Mandiatutti":
Ora mi ritrovo!
Grazie mille garnak.olegovitc!!!
la molteplicità geometrica di un autovalore \(b \) è un intero \( n \) dove \( n=dim_\Bbb{R}(E_b^f)=dim_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)-rnk(\mathcal{M}^f_b) \), dove \(rnk(\mathcal{M}^f_b)\) è il rango della matrice associata all'autovalore \(b \) rispetto ad \( f \)
Saluti
P.S.=\(E_b^f \) è l'autospazio di \( b \) associato ad \( f \)
quindi se ho capito bene la molteplicità geometrica rispetto a:
$lambda = 1$ risulta 3-2. Poiché il rango della matrice $ ( ( 2 , 0 , -2 ),( -2 , 0 , 2 ),( 4 , 0 , -4 ) ) $ è 2.
$lambda = -1$ risulta 3-2. Poiché il rango della matrice $ ( ( 4 , 0 , -2 ),( -2 , 2 , 2 ),( 4 , 0 , -2 ) ) $ è 2.
Giusto?
P.s.
Ciò che hai indicato con $m_alg$ Suppongo sia la molteplicità algebrica, ma perché due molteplicità algebriche? in questo caso la molteplicità algebrica legata a λ non sarebbe 2?
$lambda = 1$ risulta 3-2. Poiché il rango della matrice $ ( ( 2 , 0 , -2 ),( -2 , 0 , 2 ),( 4 , 0 , -4 ) ) $ è 2.
$lambda = -1$ risulta 3-2. Poiché il rango della matrice $ ( ( 4 , 0 , -2 ),( -2 , 2 , 2 ),( 4 , 0 , -2 ) ) $ è 2.
Giusto?
P.s.
Ciò che hai indicato con $m_alg$ Suppongo sia la molteplicità algebrica, ma perché due molteplicità algebriche? in questo caso la molteplicità algebrica legata a λ non sarebbe 2?
@Mandiatutti,
per ogni autovalore è associata una sola \(m_{alg} \).. ovviamente se si lavora con parametri le cose sono leggermente diverse (ma non è questo il caso )..!!
Saluti
"Mandiatutti":
P.s.
Ciò che hai indicato con $ m_{alg} $ Suppongo sia la molteplicità algebrica, ma perché due molteplicità algebriche? in questo caso la molteplicità algebrica legata a $ lambda $ non sarebbe 2?
per ogni autovalore è associata una sola \(m_{alg} \).. ovviamente se si lavora con parametri le cose sono leggermente diverse (ma non è questo il caso
)..!!Saluti
Perfetto grazie mille!!!
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