Come capire quante soluzioni ha un sistema?
Come si fa a capire dalla matrice dei coefficienti quante soluzioni ha un sistema lineare? Il problema mi insorge quando entra in gioco un parametro, vi faccio vedere.
(i) Si discuta, in dipendenza dal parametro reale h, la risolubilità del sistema
$$\begin{cases}
x+y+w=1\\ hx+hy+w=2\\ hz-hw=h
\end{cases}$$
(ii)Per il valore di h per cui il sistema ammette $\infty ^2$ soluzioni, si risolva il sistema.
Scrivendo la matrice completa ho che $$\left(\begin{array}{cccc|c} 1&1&0&1&1\\ h&h&0&1&2\\ 0&0&h&-h&h \end{array}\right)$$.
Dividendo h volte la prima riga alla seconda e dividendo tutta la terza riga per h si ottiene che $$\left(\begin{array}{cccc|c} 1&1&0&1&1\\ 0&0&0&1-h&2-h\\ 0&0&1&-1&1 \end{array}\right)$$
quindi affinchè il sistema ammetta soluzioni $h\ne 1$.
Poi scambiando la seconda riga con la terza noto che il rango di questa matrice è 2 (perchè c'è un pivot uguale a 0)e quindi ho 4-2 variabili libere (però in questo caso il parametro lo considero come una variabile(?) )
Quindi le soluzioni sarebbero $$\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ w \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} \frac{1}{h-1}-y\\ y\\ \frac{3-2h}{1-h}\\\frac{2-h}{1-h} \end{array}\right)$$
E' giusto?
(i) Si discuta, in dipendenza dal parametro reale h, la risolubilità del sistema
$$\begin{cases}
x+y+w=1\\ hx+hy+w=2\\ hz-hw=h
\end{cases}$$
(ii)Per il valore di h per cui il sistema ammette $\infty ^2$ soluzioni, si risolva il sistema.
Scrivendo la matrice completa ho che $$\left(\begin{array}{cccc|c} 1&1&0&1&1\\ h&h&0&1&2\\ 0&0&h&-h&h \end{array}\right)$$.
Dividendo h volte la prima riga alla seconda e dividendo tutta la terza riga per h si ottiene che $$\left(\begin{array}{cccc|c} 1&1&0&1&1\\ 0&0&0&1-h&2-h\\ 0&0&1&-1&1 \end{array}\right)$$
quindi affinchè il sistema ammetta soluzioni $h\ne 1$.
Poi scambiando la seconda riga con la terza noto che il rango di questa matrice è 2 (perchè c'è un pivot uguale a 0)e quindi ho 4-2 variabili libere (però in questo caso il parametro lo considero come una variabile(?) )
Quindi le soluzioni sarebbero $$\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ w \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} \frac{1}{h-1}-y\\ y\\ \frac{3-2h}{1-h}\\\frac{2-h}{1-h} \end{array}\right)$$
E' giusto?
Risposte
Vedi il Teorema di Kronecker-Rouché-Capelli
"Berker":
Come si fa a capire dalla matrice dei coefficienti quante soluzioni ha un sistema lineare? Il problema mi insorge quando entra in gioco un parametro, vi faccio vedere.
[...]
Quindi le soluzioni sarebbero $$\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ w \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} \frac{1}{h-1}-y\\ y\\ \frac{3-2h}{1-h}\\\frac{2-h}{1-h} \end{array}\right)$$
E' giusto?
Non ho controllato i conti, ma saranno corretti. Questo risultato ovviamente è valido solo per \(h\ne 1\). Che cosa succede se \(h=1\)?
Ah, una cosa. Hai scritto "il parametro lo considero come una variabile". No, assolutamente no. In questo risultato la variabile libera è \(y\), non \(h\). Il parametro \(h\) è un numero fissato prima di iniziare tutto, non una variabile.
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