Come calcolo il gruppo fondamentale?
Mi sono letto tutta la teoria necessaria su un paio di libri introduttivi, eppure ancora non mi è chiaro come calcolare in pratica il gruppo fondamentale di uno spazio connesso per archi. Per esempio:
"Trovare il gruppo fondamentale di $\mathbb{R}^3 \backslash L$, dove $L$ è una retta nello spazio".
Mi piacerebbe dimostrare che questo spazio è omotopicamente equivalente a qualcos'altro di cui conosco il gruppo fondamentale, per esempio $S^1$, ma non so davvero da dove cominciare. Qualcuno se la sente di aiutarmi? Grazie
"Trovare il gruppo fondamentale di $\mathbb{R}^3 \backslash L$, dove $L$ è una retta nello spazio".
Mi piacerebbe dimostrare che questo spazio è omotopicamente equivalente a qualcos'altro di cui conosco il gruppo fondamentale, per esempio $S^1$, ma non so davvero da dove cominciare. Qualcuno se la sente di aiutarmi? Grazie
Risposte
Supponiamo che $L={x=0,y=0}$ e sia $C={x^2+y^2=1}$ considero le applicazioni
$F:RR^3->C$ definita $F(x,y,z)=(x/sqrt(x^2+y^2),y/sqrt(x^2+y^2),z)$
$G:C->RR^3$ definita $G(x,y,z)=(x,y,z)$ allora
$FG=Id_C$ mentre $GF=F$ e l'omotopia con l'identità è
$H:RR^3xx[0,1]->RR^3$ così definita $F(t,x,y,z)=((1-t)x+t(x/sqrt(x^2+y^2)),(1-t)y+t(y/sqrt(x^2+y^2)),z)$
così hai un'omotopia con un cilindro, se vuoi proprio $S^1$ devi lavorare appena di più
$F:RR^3->C$ definita $F(x,y,z)=(x/sqrt(x^2+y^2),y/sqrt(x^2+y^2),z)$
$G:C->RR^3$ definita $G(x,y,z)=(x,y,z)$ allora
$FG=Id_C$ mentre $GF=F$ e l'omotopia con l'identità è
$H:RR^3xx[0,1]->RR^3$ così definita $F(t,x,y,z)=((1-t)x+t(x/sqrt(x^2+y^2)),(1-t)y+t(y/sqrt(x^2+y^2)),z)$
così hai un'omotopia con un cilindro, se vuoi proprio $S^1$ devi lavorare appena di più
Capisco, ora posso scrivere una omotopia tra il cilindro e $ S^1 $ e sono a posto.
Grazie
Grazie
non capisco! a che serve quell'omotopia? scusate la mia ignoranza!
Si, mi associo anche io a "miuemia", non mi è chiara a cosa serva quell'omotopia...
Credo che l'applicazione $F$ sia definita su $RR^3\setminus L$ e a valori nel cilindro $C$.
$G$ è l'inclusione canonica di $C$ in $RR^3\setminus L$.
Si ha che $F\circ G$ è l'identità su $C$. Inoltre, $G\circ F$ è omotopicamente equivalente all'identità su $RR^3\setminus L$ mediante l'applicazione
$H:RR^3\setminus L\times [0,1]\to RR^3\setminus L$ definita da rubik.
Quindi $RR^3\setminus L$ e $C$ hanno lo stesso gruppo fondamentale, in quanto spazi topologici omotopicamente equivalenti.
Era questo che intendeva dire rubik, o sbaglio?
$G$ è l'inclusione canonica di $C$ in $RR^3\setminus L$.
Si ha che $F\circ G$ è l'identità su $C$. Inoltre, $G\circ F$ è omotopicamente equivalente all'identità su $RR^3\setminus L$ mediante l'applicazione
$H:RR^3\setminus L\times [0,1]\to RR^3\setminus L$ definita da rubik.
Quindi $RR^3\setminus L$ e $C$ hanno lo stesso gruppo fondamentale, in quanto spazi topologici omotopicamente equivalenti.
Era questo che intendeva dire rubik, o sbaglio?
Beh, ma se non erro definire una omotopia, non è equivalente a dire che si ha l'equivalenza omotopica....esiste una omotopia che manda una circonferenza in un punto, ma non si può dire che il punto e la circonferenza siano omotopicamente equivalenti.....
Dal Sernesi 2, pag. 143:
Poi a pag. 153, corollario 15.5
Beh, secondo me, nel nostro caso, $F$ e $G$ sono equivalenze omotopiche, giusto?
Due spazi topologici $X$ e $Y$ si dicono omotopicamente equivalenti se esistono applicazioni continue $f:X\to Y$ e $f':Y\to X$ tali che $f\cdot f'\sim 1_X$ e $f'\cdot f\sim 1_Y$.
Le applicazioni $f$ e $f'$ si dicono equivalenze omotopiche fra $X$ e $Y$ una inversa dell'altra.
Poi a pag. 153, corollario 15.5
Se $\varphi:X\to Y$ è equivalenza omotopica, allora l'omomorfismo di gruppi indotto $\varphi_*:\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(Y,\varphi(x_0))$ è isomorfismo di gruppi.
Beh, secondo me, nel nostro caso, $F$ e $G$ sono equivalenze omotopiche, giusto?
Ciao "cirasa",
secondo me no, non è un'equivalenza omotopica, ma una semplice omotopia, anche se non mi ostino perchè non sono un esperto di topologia...
Dico questo perchè il componimento $F o G=F$ non è un'identità, quindi $F$ e $G$ non sono l'una inversa dell'altra...anche perchè $R^3\backslash L$ dovrebbe essere contrattile, mentre il cilindro non dovrebbe esserlo.
....comunque è meglio aspettare il parere di qualcun'altro più esperto.....
secondo me no, non è un'equivalenza omotopica, ma una semplice omotopia, anche se non mi ostino perchè non sono un esperto di topologia...
Dico questo perchè il componimento $F o G=F$ non è un'identità, quindi $F$ e $G$ non sono l'una inversa dell'altra...anche perchè $R^3\backslash L$ dovrebbe essere contrattile, mentre il cilindro non dovrebbe esserlo.
....comunque è meglio aspettare il parere di qualcun'altro più esperto.....
Ciao "Alexp"
Sono d'accordo. Ma io non affermo che $F\circ G=F$ bensì che $F\circ G$ è omotopicamente equivalente alla mappa identica su $RR^3\setminus L$ mediante $H$.
E questo è sufficiente per concludere che $C$ e $RR^3\setminus L$ sono omotopicamente equivalenti.
Anche in questo caso non posso che essre d'accordo con te, nemmeno io sono un esperto...
"Alexp":
Dico questo perchè il componimento $F o G=F$ non è un'identità, quindi $F$ e $G$ non sono l'una inversa dell'altra
Sono d'accordo. Ma io non affermo che $F\circ G=F$ bensì che $F\circ G$ è omotopicamente equivalente alla mappa identica su $RR^3\setminus L$ mediante $H$.
E questo è sufficiente per concludere che $C$ e $RR^3\setminus L$ sono omotopicamente equivalenti.
"Alexp":
....comunque è meglio aspettare il parere di qualcun'altro più esperto.....
Anche in questo caso non posso che essre d'accordo con te, nemmeno io sono un esperto...
Ora che ci penso meglio, hai ragione...perchè $R^3\backslashL$ è anch'esso non contrattile...
"rubik":
Supponiamo che $L={x=0,y=0}$ e sia $C={x^2+y^2=1}$ considero le applicazioni
$F:RR^3->C$ definita $F(x,y,z)=(x/sqrt(x^2+y^2),y/sqrt(x^2+y^2),z)$
$G:C->RR^3$ definita $G(x,y,z)=(x,y,z)$
ma scusa "rubik", non è più corretto (come suggerito da"cirasa") definire $F$ su $RR^3\backslashL$ e non su $RR^3$? e stessa cosa per $G$, ossia che la sua immagine sia $RR^3\backslashL$ e non $RR^3$? altrimenti c'è qualcosa che non va...un cilindro non dovrebbe essere omotopicamente equivalente ad $RR^3$, non trovi?
"cirasa":
Credo che l'applicazione $F$ sia definita su $RR^3\setminus L$ e a valori nel cilindro $C$.
$G$ è l'inclusione canonica di $C$ in $RR^3\setminus L$.
Si ha che $F\circ G$ è l'identità su $C$. Inoltre, $G\circ F$ è omotopicamente equivalente all'identità su $RR^3\setminus L$ mediante l'applicazione
$H:RR^3\setminus L\times [0,1]\to RR^3\setminus L$ definita da rubik.
Quindi $RR^3\setminus L$ e $C$ hanno lo stesso gruppo fondamentale, in quanto spazi topologici omotopicamente equivalenti.
Era questo che intendeva dire rubik, o sbaglio?
è esattamente questo, $F$ è definita su $RR^3\\L$ come serve e come è giusto (anche se io ho scritto male), $G$ è l'inclusione canonica (ed è facile vedere che è a valori in $RR^3\\L$).
due spazi $X,Y$ si dicono omotopicamente equivalenti se esistono due mappe continue $F:X->Y,G:Y->X$ tali che $FG~~Id_Y$ e $GF~~Id_X$
le nostre mappe in un senso sono l'identità che è omotopa a se stessa nell'altro senso ho dato l'omotopia $H$
$RR^3\\L$ non è contrattile in quanto il gruppo fondamentale non è banale.
in effetti mi pare di aver dimostrato che il cilindro è un retratto di deformazione forte di $RR^3\\L$
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