Combinazione lineare vettore nullo

[userina]

ciao a tutti!
sto svolgendo un esercizio e ho trovato problemi al punto in cui chiede:
in quanti modi il vettore nullo (0,0,0) si può scrivere come combinazione lineare dei vettori $v_1$ =(1,2,-2), $v_2$ =(2,1,-3) e $v_3$= (1,-1,-1)??

diciamo che credevo di aver capito come si svolge, fin quando però non ho avuto dei dubbi...
continuo con il mio procedimento...

(0,0,0)= $h_1$(1,2,-2) + $h_2$(2,1,-3) + $h_3$(1,-1,-1) = $(h_1+2h_2+h_3, 2h_1+h_2-h_3, -2h_1-2h_2-h_3)$

ho svolto il sistema omogeneo mediante la matrice incompleta e mi si è annullata una riga (il mio dubbio), per cui mi è venuto un sistema di due equazioni:

$h_1+2h_2+h_3$=0
$h_2+h_3=0$

da cui deriva $h_1$=$h_3$ e $h_2$=$-h_3$
ma quindi il vettore nullo a cosa è uguale? mi sento di aver sbagliato qualcosina!! Grazie per l'aiuto

[walter891]

Io direi che è giusto, perchè se il sistema fosse stato determinato potevi ottenere il vettore nullo in un solo modo. Così invece ci sono più modi per ottenerlo e l'esercizio ti chiede appunto quanti sono.
Su questo non sono sicuro ma credo che siccome c'è una sola variabile libera il sistema ha $infty^1$ soluzioni

[userina]

allora dato che il sistema è indeterminato e ci sono infinite soluzioni...la combinazione lineare del vettore nullo risulterà essere:
$(0,0,0) = h_3v_1-h_3v_2+h_3v_3$

si scrive così o ho sbagliato?

[cirasa]

Se i conti sono giusti (non ho controllato), è giusto.