Combinazione lineare matrici
Stavo provando questo esercizio
Date le matrici A= $ | ( 1 , 2 ),( -1 , 3 ) | $ , B= $ | ( 2 , 1 ),( 1 , 1 ) | $ , C= $ | ( -1 , 1 ),( 2 , 3 ) | $ , D= $ | ( 0 , 1 ),( -1 , 2 ) | $ , stabilire se D `e combinazione lineare di A, B, C.
come soluzione viene messa la risoluzione dell'equazione Ax + By + Cz = D, esplicitando la quale si ottiene un sistema lineare di quattro equazioni e tre incognite
io invece avevo semplicemente fatto A+B+C, dato che dovevo mostrare se D fosse combinazione lineare(e quindi somma)
il risultato è lo stesso ma potrei anche aver sbagliato io, in quanto D non è combinazione lineare
quello che volevo sapere era se anche il mio procedimento va bene o è errato, dato che in questo caso mi sembra la strada più veloce(avendo tutte matrici 2x2)
Date le matrici A= $ | ( 1 , 2 ),( -1 , 3 ) | $ , B= $ | ( 2 , 1 ),( 1 , 1 ) | $ , C= $ | ( -1 , 1 ),( 2 , 3 ) | $ , D= $ | ( 0 , 1 ),( -1 , 2 ) | $ , stabilire se D `e combinazione lineare di A, B, C.
come soluzione viene messa la risoluzione dell'equazione Ax + By + Cz = D, esplicitando la quale si ottiene un sistema lineare di quattro equazioni e tre incognite
io invece avevo semplicemente fatto A+B+C, dato che dovevo mostrare se D fosse combinazione lineare(e quindi somma)
il risultato è lo stesso ma potrei anche aver sbagliato io, in quanto D non è combinazione lineare
quello che volevo sapere era se anche il mio procedimento va bene o è errato, dato che in questo caso mi sembra la strada più veloce(avendo tutte matrici 2x2)
Risposte
Il fatto che $D$ sia "combinazione lineare" di $A$, $B$ e $C$ significa che esistono $\alpha,\beta,gamma\in K$ (dove $K$ è il tuo campo, probabilmente $\mathbb R$) tali che $$\alpha A+\beta B+\gamma C=D.$$ Questo non significa necessariamente che $A+B+C=D$, anzi! Magari $\alpha=\pi$, $\beta=18$ e $\gamma=1/2$.
Quindi se vedi che $A+B+C\ne D$, non stai mostrando che $D$ non è combinazione lineare di $A$, $B$ e $C$, stai solo osservando un caso particolare.
Quindi se vedi che $A+B+C\ne D$, non stai mostrando che $D$ non è combinazione lineare di $A$, $B$ e $C$, stai solo osservando un caso particolare.
aaah ora è tutto chiaro
e quindi bisogna obbligatoriamente mettere tutto a sistema e risolverlo come un normale sistema lineare
e quindi bisogna obbligatoriamente mettere tutto a sistema e risolverlo come un normale sistema lineare
Ma si può risolvere il problema anche calcolando prima il rango poi il determinante e infine facendo un sistema a 3 equazioni?
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