Combinazione lineare di vettori

[giulio013]

Dati i sottoinsiemi S = {(1, 1, 0),(0, 1, 1)} e T = {(1, 2, 1),(1, 0, −1),(0, 0, 0)} dello spazio vettoriale R3 con le operazioni usuali, dimostrare che ciascun vettore di S e combinazione lineare dei vettori di T e che ciascun vettore di T è combinazione lineare dei vettori di S. E vero che L(S) = L(T), ossia che S e T generano lo stesso spazio vettoriale?

Sopra c'è il testo dell'esercizio. A dimostrare che sono combinazioni lineare non ci metto nulla, mi basta uguagliare un vettore ai rimanenti, per esempio: (1,1,0) = a(1,2,1) + b(1,0,-1) + c(0,0,0) e vedo se ammette soluzione.
Non so rispondere alla seconda domanda, "E vero che ` L(S) = L(T), ossia che S e T generano lo stesso spazio vettoriale?", mi sta chiedendo se tutte le combinazioni lineari sono generano lo stesso vettore?

[Bokonon]

Se S genera un piano (inclusi i vettori di T) e T genera un piano (inclusi i vettori di S), possono essere due piani diversi?
Oppure S e T sono entrambe ottime basi per il medesimo piano?

[giulio013]

e da cosa deduco la risposta dell'ultima domanda?

[Bokonon]

Riflettendo e rispondendo alle domande

[giulio013]

visto che entrambe creano lo stesso vettore direi che sono lo stesso piano e fungono da base (no?)

[Bokonon]

Ovvio. Disegna due vettori qualsiasi su un foglio e deriva due vettori indipendenti da due comb. lineari dei primi.
Questi due vettori sono una base del piano buona quanto la prima e ovviamente genereranno anche i due vettori originali.
Prova.