Colonne di una matrice non-singolare
Buongiorno, il problema è in realtà di fisica e analisi, ma possiamo anche far finta di niente e pensare solo alla geometria.
Il problema è questo:
voglio passare da coordinate X=(x,y,z) a coordinate q= (a,b,c). Localmente questa cosa è definita da 3 funzioni regolari
x=x(a,b,c)
y=y(a,b,c)
z=z(a,b,c)
il cui Jacobiano sia non nullo, cioè $ Det[{partial(x,y,z) }/ {partial(a,b,c)}] !=0 $ . Da questo concludiamo che il rango sia tre e che i vettori della matrice costituiscano una base di R³.
Ora, detto questo,
cosa rende la matrice $ a_{i,k} = sum_(i,k ) [{partial bar(X)}/{partial q_i} * {partial bar(X)}/{partial q_k} ] $
non singolare?
E già che ci siamo, c'è un valido motivo per cui tale matrice dovrebbe essere anche simmetrica.
Sui miei appunti c'è scritto che è perchè il pr. scalare è definito positivo (e ok) ed è simmetrico (?), ma questo non spiega granchè.
Grazie.
Il problema è questo:
voglio passare da coordinate X=(x,y,z) a coordinate q= (a,b,c). Localmente questa cosa è definita da 3 funzioni regolari
x=x(a,b,c)
y=y(a,b,c)
z=z(a,b,c)
il cui Jacobiano sia non nullo, cioè $ Det[{partial(x,y,z) }/ {partial(a,b,c)}] !=0 $ . Da questo concludiamo che il rango sia tre e che i vettori della matrice costituiscano una base di R³.
Ora, detto questo,
cosa rende la matrice $ a_{i,k} = sum_(i,k ) [{partial bar(X)}/{partial q_i} * {partial bar(X)}/{partial q_k} ] $
non singolare?
E già che ci siamo, c'è un valido motivo per cui tale matrice dovrebbe essere anche simmetrica.
Sui miei appunti c'è scritto che è perchè il pr. scalare è definito positivo (e ok) ed è simmetrico (?), ma questo non spiega granchè.
Grazie.
Risposte
C'e' qualcosa che non va in quello che hai scritto. Il termine di destra non dipende da $i,k$ (sono gli indici muti della sommatoria).
No, ok lascia perdere.
La domanda era: perchè se il Jacobiano sopra è nullo, lo deve essere anche il Jacobiano della matrice sotto?
La risposta è: perchè si dimostra che, nella circostanza fisica in cui le sto studiando, sono la stessa matrice.
E quindi la domanda è diventata in realtà questa:
viewtopic.php?f=36&t=125196
magari puoi darmi comunque una mano.
Grazie comunque.
La domanda era: perchè se il Jacobiano sopra è nullo, lo deve essere anche il Jacobiano della matrice sotto?
La risposta è: perchè si dimostra che, nella circostanza fisica in cui le sto studiando, sono la stessa matrice.
E quindi la domanda è diventata in realtà questa:
viewtopic.php?f=36&t=125196
magari puoi darmi comunque una mano.
Grazie comunque.
Ho risposto anche di la'. Continuo a non capire le notazioni. Devi indicare su cosa corrono gli indici di sommatoria e non usare come indici muti gli stessi simboli che usi per gli indici che non sono muti.
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