Coefficienti vettore e componenti GRAZIE
Volevo capire bene se c'è qualche differenza tra coordinate e componenti di un vettore ,ad esempio in uno dei casi piu semplici,ovvero appartenente a R^2.
Da quello che ho capito se il testo ci fornisce le componenti di un vettore di R^2,esse coincideranno sempre in valore con i coefficienti della combinazione lineare dei vettori base canonica E:(e1,e2).
Percio si potrebbe dire che (quando un testo non specifica che le componenti sono espresse tramite un'altra base) se ci viene dato un vettore con certe componenti ,tali componenti corrispondo in realtà ai coefficienti ottenuti se tale vettore è espresso mediante combinazione lineare dei vettori base canonica.
Ora se volessi esprimere le componenti del vettore V(v1,v2) espresse percio in base canonica mediante altri vettori B(b1,b2) che costituiscono sempre una base in R^2 come faccio? ho in mente due modi ma volevo sapere prima di tutto se erano giusti:
1) applico la definizione di combinazione lineare,se i vettori b1 e b2 sono linearmente indipendenti,il vettore V puo essere scritto come: V=xb1 + yb2 dove x e y sono i coefficienti rappresentanti le componenti del nuovo vettore.
2) posso ricavarmi la matrice di permutazione/cambiamento di base ottenibile scrivendo rispettivamente i vettori base canonica e1 ed e2 come combinazioni lineari dei nuovi vettori base b1 e b2.
Sono giusti i metodi che ho appena detto?
Posso percio dire che le componenti di un vettore non sono altro che i coefficienti che si ottengono se si esprime tale vettore come combinazione lineare di vettori base. Le componenti fondamentali che permettono il passaggio dall'uno all'altro sono le componenti del vettore espresse tramite la base canonica.
E ULTIMA COSA: qual è la differenza tra componente di un vettore e coordinate(cartesiane?!) dello stesso vettore?
Da quello che ho capito,se si considera di rappresentare un vettore su un piano cartesiano, le componenti COINCIDONO con le coordinate cartesiane SOLO quando il vettore è espresso mediante la base canonica(unitaria)....è l'unità che permette cioè l'equivalenza tra coordinate e componenti del vettore.
Se considero il vettore V(4,2) dove 4 e 2 sono le componenti calcolate rispetto alla base canonico e voglio rappresentarlo mediante un'altra base,ad esempio B(b1,b2) con b1=(2,0) e b2=(0,2) , le componenti di V rispetto alla nuova base B(vado a intuito visto che ho scelto un caso semplice) sarebbero V(2,1). Ora pero mi viene il dubbio che tali componenti non coincidano piu con le coordinate del vettore...nel senso che se rappresento il vettore sul piano cartesiano considerando le nuove componenti(al posto di considerare le sue coordinate) otterrei il punto Q(o il segmento OQ) di coordinate (2,1)....ma ciò è sbagliato perche per rappresentare un vettore in un piano cartesiano devo sempre considerare le sue coordinate cartesiane(e non le componenti)...l'equivalenza componenti e coordinate cartesiane è valida solo se la base è quella canonica) e percio so che le sue coordinate sono V=(4b1,2b2)....ovvero posso disegnarmi i due vettori base b1 e b2 e poi guardando le nuove componenti((2,1) so che le"coordinate cartesiane del vettore sono rispettivamente il doppio di b1 e lo stesso b2"
In pratica da un punto di vista grafico le componenti di un vettore rispetto a una base di vettori mi dicono quante volte il vettore è contenuto nei vettori base nella loro combinazione lineare
è corretto ciò che ho detto?!
grazie millee:)
Da quello che ho capito se il testo ci fornisce le componenti di un vettore di R^2,esse coincideranno sempre in valore con i coefficienti della combinazione lineare dei vettori base canonica E:(e1,e2).
Percio si potrebbe dire che (quando un testo non specifica che le componenti sono espresse tramite un'altra base) se ci viene dato un vettore con certe componenti ,tali componenti corrispondo in realtà ai coefficienti ottenuti se tale vettore è espresso mediante combinazione lineare dei vettori base canonica.
Ora se volessi esprimere le componenti del vettore V(v1,v2) espresse percio in base canonica mediante altri vettori B(b1,b2) che costituiscono sempre una base in R^2 come faccio? ho in mente due modi ma volevo sapere prima di tutto se erano giusti:
1) applico la definizione di combinazione lineare,se i vettori b1 e b2 sono linearmente indipendenti,il vettore V puo essere scritto come: V=xb1 + yb2 dove x e y sono i coefficienti rappresentanti le componenti del nuovo vettore.
2) posso ricavarmi la matrice di permutazione/cambiamento di base ottenibile scrivendo rispettivamente i vettori base canonica e1 ed e2 come combinazioni lineari dei nuovi vettori base b1 e b2.
Sono giusti i metodi che ho appena detto?
Posso percio dire che le componenti di un vettore non sono altro che i coefficienti che si ottengono se si esprime tale vettore come combinazione lineare di vettori base. Le componenti fondamentali che permettono il passaggio dall'uno all'altro sono le componenti del vettore espresse tramite la base canonica.
E ULTIMA COSA: qual è la differenza tra componente di un vettore e coordinate(cartesiane?!) dello stesso vettore?
Da quello che ho capito,se si considera di rappresentare un vettore su un piano cartesiano, le componenti COINCIDONO con le coordinate cartesiane SOLO quando il vettore è espresso mediante la base canonica(unitaria)....è l'unità che permette cioè l'equivalenza tra coordinate e componenti del vettore.
Se considero il vettore V(4,2) dove 4 e 2 sono le componenti calcolate rispetto alla base canonico e voglio rappresentarlo mediante un'altra base,ad esempio B(b1,b2) con b1=(2,0) e b2=(0,2) , le componenti di V rispetto alla nuova base B(vado a intuito visto che ho scelto un caso semplice) sarebbero V(2,1). Ora pero mi viene il dubbio che tali componenti non coincidano piu con le coordinate del vettore...nel senso che se rappresento il vettore sul piano cartesiano considerando le nuove componenti(al posto di considerare le sue coordinate) otterrei il punto Q(o il segmento OQ) di coordinate (2,1)....ma ciò è sbagliato perche per rappresentare un vettore in un piano cartesiano devo sempre considerare le sue coordinate cartesiane(e non le componenti)...l'equivalenza componenti e coordinate cartesiane è valida solo se la base è quella canonica) e percio so che le sue coordinate sono V=(4b1,2b2)....ovvero posso disegnarmi i due vettori base b1 e b2 e poi guardando le nuove componenti((2,1) so che le"coordinate cartesiane del vettore sono rispettivamente il doppio di b1 e lo stesso b2"
In pratica da un punto di vista grafico le componenti di un vettore rispetto a una base di vettori mi dicono quante volte il vettore è contenuto nei vettori base nella loro combinazione lineare
è corretto ciò che ho detto?!
grazie millee:)
Risposte
Ciao, provo a darti un aiuto.
Dato uno spazio vettoriale $V$, i suoi elementi sono chiamati vettori.
Quando si parla di vettore, questo non ha componenti o coordinate, ovvero un vettore è solo un punto, cioè un elemento dello spazio vettoriale, e non è una n-pla di numeri. Nei corsi di geometria e algebra lineare si rischia di creare la malsana idea che un vettore sia un oggetto con delle componenti ma non è così. Un vettore è solo un elemento di uno spazio vettoriale.
Ad esempio se $V$ è uno spazio vettoriale di polinomi di grado $n$ sul campo $ mathbb(R) $, i vettori sono i polinomi di grado al più $n$, ovvero: $vec(v) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0$.
Se $V$ è lo spazio vettoriale dei vettori geometrici sul piano, allora i vettori sono segmenti orientati (cioè le "frecce", con lunghezza, direzione e verso).
Se $V$ è $mathbb(R)^n$ allora i vettori sono n-ple di numeri reali messi in colonna: $ vec(v) = ( ( a_1),( ... ),( a_n ) ) $
Ogni spazio vettoriale ammette una base algebrica, detta base di Hamel.
Una base di Hamel $B$, è un insieme di vettori di $V$, linearmente indipendenti e tali che lo $Span(B)=V$ ovvero ogni $ vec(v) in V$ si può scrivere come combinazione lineare di un numero finito $N$ di vettori di $B$:
$ vec(v) = sum_(i = \1) ^ {N} c_i vec(b_i) $
La N-pla di scalari: $( ( c_1),( ... ),( c_N ) ) $ sono le coordinate di $vec(v)$ rispetto alla base $B$.
La dimensione di Hamel dello spazio $V$ è pari alla cardinalità di $B$.
Se la cardinalità di $B$ è finita ($N$) allora $dimV = N$. Ad esempio lo spazio dei vettori geometrici nel piano, ha dimensione 2.
Se la cardinalità di $B$ è infinita allora la dimensione di Hamel di $V$ è infinita. Ad esempio lo spazio di tutti i polinomi reali di grado qualsiasi, ha dimensione infinito numerabile, ed è costituito da sottospazi vettoriali di dimensione arbitrariamente grande.
Uno spazio vettoriale ha tutte basi di Hamel con la stessa cardinalità.
Consideriamo solo spazi vettoriali con basi di Hamel a cardinalità finita, di modo tale che la dimensione di Hamel dello spazio vettoriale sia finita.
Fissata una base di Hamel su $V$, i coefficienti dello sviluppo in base di un vettore $vec(v)$, sono le coordinate di $vec(v)$ rispetto a tale base. Cambiando base, cambiano le coordinate del vettore.
In particolare, se esprimiamo i vettori della base rispetto alla base, si ottengono le coordinate canoniche (cioè la N-ple, con tutti zeri, tranne un 1 nella posizione i-sima, corrispondente al vettore base in esame).
Inoltre se lo spazio vettoriale $V$ definito sul campo $mathbb(K)$, ha dimensione di Hamel $N$, allora esiste un isomorfismo tra lo spazio $V$ e il campo $mathbb(K)^N$. Ciò permette di lavorare algebricamente con le coordinate su $mathbb(K)^N$, anziché lavorare direttamente con i vettori in $V$.
Questo procedimento lo si fa ad esempio quando si analizzano gli spazi vettoriali dei vettori geometrici.
Se ad esempio stiamo considerando lo spazio vettoriale dei vettori geometrici sul piano $V^2$, possiamo fissare su $V^2$ due vettori geometrici (2 frecce) $vec(b_1), vec(b_2)$ che non siano paralleli (il che sul piano corrisponde a dire che non siano linearmente dipendenti) ed un punto di $P_0 in V^2$ che chiamiamo origine, ottenendo la terna $SRA=(P_0, vec(b_1), vec(b_2))$, che è chiamata sistema di riferimento affine (SRA) su $V^2$. La coppia $V_0^2 = (V^2,SRA)$ è lo spazio vettoriale dei vettori geometrici applicati in $P_0$.
Tramite il sistema di riferimento affine, possiamo disegnare ogni vettore geometrico applicato in $P_0$ come combinazione lineare dei vettori $vec(b_1), vec(b_2)$ della base, utilizzando la regola del parallelogramma (che è appunto un disegno).
Otteniamo 2 coordinate, ovvero una coppia di numeri reali, cioè un elemento di $mathbb(R)^2$.
Possiamo quindi lavorare in modo algebrico su $mathbb(R)^2$ con le coordinate dei vettori (cioè scrivere equazioni), anziché lavorare in modo geometrico (facendo disegni) su $V_0^2$.
Quando conosci le coordinate di un vettore $vec(v)$ rispetto ad una base $B_1$ e vuoi ottenere le sue coordinate rispetto ad un'altra base $B_2$, utilizzi la matrice del cambiamento di base.
ps. per scrivere le formule in blu, anche senza usare il codice LaTex, puoi mettere i simboli tra due dollari $.
I simboli li trovi su "Aggiungi formula". In questo modo il testo è più gradevole da leggere e magari ricevi più risposte.
Cordialmente, Shun.
Dato uno spazio vettoriale $V$, i suoi elementi sono chiamati vettori.
Quando si parla di vettore, questo non ha componenti o coordinate, ovvero un vettore è solo un punto, cioè un elemento dello spazio vettoriale, e non è una n-pla di numeri. Nei corsi di geometria e algebra lineare si rischia di creare la malsana idea che un vettore sia un oggetto con delle componenti ma non è così. Un vettore è solo un elemento di uno spazio vettoriale.
Ad esempio se $V$ è uno spazio vettoriale di polinomi di grado $n$ sul campo $ mathbb(R) $, i vettori sono i polinomi di grado al più $n$, ovvero: $vec(v) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0$.
Se $V$ è lo spazio vettoriale dei vettori geometrici sul piano, allora i vettori sono segmenti orientati (cioè le "frecce", con lunghezza, direzione e verso).
Se $V$ è $mathbb(R)^n$ allora i vettori sono n-ple di numeri reali messi in colonna: $ vec(v) = ( ( a_1),( ... ),( a_n ) ) $
Ogni spazio vettoriale ammette una base algebrica, detta base di Hamel.
Una base di Hamel $B$, è un insieme di vettori di $V$, linearmente indipendenti e tali che lo $Span(B)=V$ ovvero ogni $ vec(v) in V$ si può scrivere come combinazione lineare di un numero finito $N$ di vettori di $B$:
$ vec(v) = sum_(i = \1) ^ {N} c_i vec(b_i) $
La N-pla di scalari: $( ( c_1),( ... ),( c_N ) ) $ sono le coordinate di $vec(v)$ rispetto alla base $B$.
La dimensione di Hamel dello spazio $V$ è pari alla cardinalità di $B$.
Se la cardinalità di $B$ è finita ($N$) allora $dimV = N$. Ad esempio lo spazio dei vettori geometrici nel piano, ha dimensione 2.
Se la cardinalità di $B$ è infinita allora la dimensione di Hamel di $V$ è infinita. Ad esempio lo spazio di tutti i polinomi reali di grado qualsiasi, ha dimensione infinito numerabile, ed è costituito da sottospazi vettoriali di dimensione arbitrariamente grande.
Uno spazio vettoriale ha tutte basi di Hamel con la stessa cardinalità.
Consideriamo solo spazi vettoriali con basi di Hamel a cardinalità finita, di modo tale che la dimensione di Hamel dello spazio vettoriale sia finita.
Fissata una base di Hamel su $V$, i coefficienti dello sviluppo in base di un vettore $vec(v)$, sono le coordinate di $vec(v)$ rispetto a tale base. Cambiando base, cambiano le coordinate del vettore.
In particolare, se esprimiamo i vettori della base rispetto alla base, si ottengono le coordinate canoniche (cioè la N-ple, con tutti zeri, tranne un 1 nella posizione i-sima, corrispondente al vettore base in esame).
Inoltre se lo spazio vettoriale $V$ definito sul campo $mathbb(K)$, ha dimensione di Hamel $N$, allora esiste un isomorfismo tra lo spazio $V$ e il campo $mathbb(K)^N$. Ciò permette di lavorare algebricamente con le coordinate su $mathbb(K)^N$, anziché lavorare direttamente con i vettori in $V$.
Questo procedimento lo si fa ad esempio quando si analizzano gli spazi vettoriali dei vettori geometrici.
Se ad esempio stiamo considerando lo spazio vettoriale dei vettori geometrici sul piano $V^2$, possiamo fissare su $V^2$ due vettori geometrici (2 frecce) $vec(b_1), vec(b_2)$ che non siano paralleli (il che sul piano corrisponde a dire che non siano linearmente dipendenti) ed un punto di $P_0 in V^2$ che chiamiamo origine, ottenendo la terna $SRA=(P_0, vec(b_1), vec(b_2))$, che è chiamata sistema di riferimento affine (SRA) su $V^2$. La coppia $V_0^2 = (V^2,SRA)$ è lo spazio vettoriale dei vettori geometrici applicati in $P_0$.
Tramite il sistema di riferimento affine, possiamo disegnare ogni vettore geometrico applicato in $P_0$ come combinazione lineare dei vettori $vec(b_1), vec(b_2)$ della base, utilizzando la regola del parallelogramma (che è appunto un disegno).
Otteniamo 2 coordinate, ovvero una coppia di numeri reali, cioè un elemento di $mathbb(R)^2$.
Possiamo quindi lavorare in modo algebrico su $mathbb(R)^2$ con le coordinate dei vettori (cioè scrivere equazioni), anziché lavorare in modo geometrico (facendo disegni) su $V_0^2$.
Quando conosci le coordinate di un vettore $vec(v)$ rispetto ad una base $B_1$ e vuoi ottenere le sue coordinate rispetto ad un'altra base $B_2$, utilizzi la matrice del cambiamento di base.
ps. per scrivere le formule in blu, anche senza usare il codice LaTex, puoi mettere i simboli tra due dollari $.
I simboli li trovi su "Aggiungi formula". In questo modo il testo è più gradevole da leggere e magari ricevi più risposte.
Cordialmente, Shun.
grazie,acnhe per l'ultimo consiglio 
certo che è difficile pensare ai vettori come un qualche oggetto di uno spazio vettoriale senza coordinate/componenti ,ovvero oggetti non definiti almeno in principio da n-uple di elementi(numeri) visto che sia con fisica che con algebra lineare la definizione di vettore è stata proprio quella di oggetto identificato da una n-upla di numeri.
Così facendo non è che si va troppo sull'astratto?
Percio un vettore avrà associata notazione classica,di collezione di numeri , solo se si tratta di R^n?
Ad esempio se lo spazio vettoriale è quello delle matrici mxn o delle funzioni non ha quindi senso parlare di componenti del vettore(qui inteso quindo come una particolare matrice mxn o funzione di quel certo spazio vettoriale)?
certo che è difficile pensare ai vettori come un qualche oggetto di uno spazio vettoriale senza coordinate/componenti ,ovvero oggetti non definiti almeno in principio da n-uple di elementi(numeri) visto che sia con fisica che con algebra lineare la definizione di vettore è stata proprio quella di oggetto identificato da una n-upla di numeri.
Così facendo non è che si va troppo sull'astratto?
Percio un vettore avrà associata notazione classica,di collezione di numeri , solo se si tratta di R^n?
Ad esempio se lo spazio vettoriale è quello delle matrici mxn o delle funzioni non ha quindi senso parlare di componenti del vettore(qui inteso quindo come una particolare matrice mxn o funzione di quel certo spazio vettoriale)?
Più che altro, direi che la confusione nasce dal fatto che si è usata la stessa parola "vettore", per indicare più cose.
Vettore come oggetto generico di uno spazio vettoriale, vettore geometrico libero come classe di equipollenza dei segmenti orientati, vettore colonna/riga con n componenti per una n-pla di numeri... e così via. Se però ti è chiaro il contesto, non dovresti avere problemi.
Ad esempio se lo spazio vettoriale contiene funzioni, non ha senso dire che i vettori di questo spazio vettoriale hanno delle componenti, sono funzioni!
Ad esempio se i vettori dello spazio vettoriale sono polinomi di grado n, sul campo reale o complesso:
$f(x)=a_nx^n + ... + a_1x + a_0$
questi sono funzioni nella variabile $x$ e non N-ple di numeri.
Tuttavia poiché tale spazio ha dimensione n+1, allora ogni polinomio (funzione) è univocamente individuato dagli n+1 coefficienti: $a_n , ... , a_0$
e quindi ad ogni polinomio puoi associare la (n+1)-pla di coordinate: $ ( ( a_n),( a_(n-1) ),( ... ),( a_1 ),( a_0 ) ) $ rispetto alla base di monomi:
$B={x^n, x^(n-1), ..., x, 1} $
Viceversa in uno spazio come $mathbb(R)^n$ oppure come $mathbb(C)^n$, i vettori sono sempre indicati tramite n-ple di numeri reali o complessi, ma attenzione: queste componenti non sono intrinseche, sono coincidenti con le coordinate del vettore rispetto ad una base scelta come riferimento. Quindi in realtà quando consideri una n-pla di $mathbb(R)^n$, stai di fatto considerando le coordinate del vettore rispetto ad una base, che se non è specificato è sottointeso che sia la base canonica di $mathbb(R)^n$.
Quindi un vettore di uno spazio vettoriale non ha delle componenti intrinseche, mentre le coordinate del vettore sono la n-pla di numeri che gli viene associata rispetto alla base presa in considerazione, ed il numero di coordinate dipende dalla dimensione dello spazio vettoriale.
Spero di esserti stato utile.
Cordialmente, Shun.
Vettore come oggetto generico di uno spazio vettoriale, vettore geometrico libero come classe di equipollenza dei segmenti orientati, vettore colonna/riga con n componenti per una n-pla di numeri... e così via. Se però ti è chiaro il contesto, non dovresti avere problemi.
Ad esempio se lo spazio vettoriale contiene funzioni, non ha senso dire che i vettori di questo spazio vettoriale hanno delle componenti, sono funzioni!
Ad esempio se i vettori dello spazio vettoriale sono polinomi di grado n, sul campo reale o complesso:
$f(x)=a_nx^n + ... + a_1x + a_0$
questi sono funzioni nella variabile $x$ e non N-ple di numeri.
Tuttavia poiché tale spazio ha dimensione n+1, allora ogni polinomio (funzione) è univocamente individuato dagli n+1 coefficienti: $a_n , ... , a_0$
e quindi ad ogni polinomio puoi associare la (n+1)-pla di coordinate: $ ( ( a_n),( a_(n-1) ),( ... ),( a_1 ),( a_0 ) ) $ rispetto alla base di monomi:
$B={x^n, x^(n-1), ..., x, 1} $
Viceversa in uno spazio come $mathbb(R)^n$ oppure come $mathbb(C)^n$, i vettori sono sempre indicati tramite n-ple di numeri reali o complessi, ma attenzione: queste componenti non sono intrinseche, sono coincidenti con le coordinate del vettore rispetto ad una base scelta come riferimento. Quindi in realtà quando consideri una n-pla di $mathbb(R)^n$, stai di fatto considerando le coordinate del vettore rispetto ad una base, che se non è specificato è sottointeso che sia la base canonica di $mathbb(R)^n$.
Quindi un vettore di uno spazio vettoriale non ha delle componenti intrinseche, mentre le coordinate del vettore sono la n-pla di numeri che gli viene associata rispetto alla base presa in considerazione, ed il numero di coordinate dipende dalla dimensione dello spazio vettoriale.
Spero di esserti stato utile.
Cordialmente, Shun.
si senz'altro mi hai aiutato a chiarire meglio questo concetto!
Perciò in caso di funzioni polinomiali non ha senso parlare di componenti mentre di coordinate si?
C'è una grande distinzione tra coordinate e componenti di un vettore? perche in alcuni siti le fanno coincidere indistintamente
Perciò in caso di funzioni polinomiali non ha senso parlare di componenti mentre di coordinate si?
C'è una grande distinzione tra coordinate e componenti di un vettore? perche in alcuni siti le fanno coincidere indistintamente
"xshadow":
Perciò in caso di funzioni polinomiali non ha senso parlare di componenti mentre di coordinate si?
C'è una grande distinzione tra coordinate e componenti di un vettore? perche in alcuni siti le fanno coincidere indistintamente
Qualsiasi vettore di uno spazio vettoriale, che siano funzioni (polinomi, seno e coseno, e qualsiasi altro tipo di funzioni ti venga in mente), vettori geometrici (ovvero frecce disegnate), N-ple di numeri, e così via, questi di natura non hanno ne componenti ne coordinate.
L'ordine corretto di idee è questo:
1- ho uno spazio vettoriale, ed i punti di questo spazio si chiamano vettori (funzioni, segmenti orientati, N-ple etc...)
2- lo spazio vettoriale ha dimensione K, cioè ogni vettore dello spazio vettoriale si può esprimere in modo univoco come combinazione lineare di un numero K di vettori precisi. Tale insieme di K vettori che riescono a generare in modo univoco tutti i vettori dello spazio vettoriale, è detto "base".
3- ad ogni vettore si può associare una K-pla di coordinate, che dipende dalla base $B$ scelta
Per quanto riguarda i termini "componente" e "coordinata", vengono utilizzati in modo indistinto; a mio modo di vedere, però, il termine "coordinata" rende meglio l'idea del concetto: ad esempio se un vettore $vec(v)$ nella base $B={vec(b_1), ... , vec(b_K) }$ è individuato dalla K-pla $((c_1), (...), (c_K))$, diciamo che $c_1$ è la coordinata di $vec(v)$ rispetto al vettore $vec(b_1)$ della base, $c_2$ è la coordinata di $vec(v)$ rispetto al vettore $vec(b_2)$ della base e così via.
Insomma coordinata secondo me, è più adatto a far venire subito in mente che si parla di un numero ( $c_i$ ) rispetto ad un riferimento (il vettore i-simo della base); pensa ad esempio a quando si parla di coordinate geografiche "longitudine" e "latitudine". Invece il termine "componente", non è che ha un gran significato dietro...
Nota: talvolta in qualche materia i professori si prendono delle libertà di nomenclatura. Ad esempio considerando la scrittura di un vettore $vec(v)$ rispetto alla base $B$:
$ vec(v) = sum_(i = \1) ^ {n} c_i vec(b_i) $
a me capitò, nel corso di Campi elettromagnetici, che il professore chiamava "la componente i-sima" la coordinata i-sima del vettore (cioè $c_i$), mentre chiamava "il componente i-simo" la coordinata i-sima del vettore, moltiplicata per il corrispondente vettore di base (cioè $c_i vec(b_i)$).
Insomma, dipende molto anche dal corso che segui. In ogni caso non è molto importante questo fatto.
Ciao, Shun
grazie ancora per la disponibilità
in pratica nel concetto piu generale un vettore dovrebbe essere immaginato come un punto indistinto(non ha coordinate per differenziarlo da un altro dello spazio vettoriale) ma che puoi può essere distinto da tutti gli altri punti dello spazio in maniera inequivocabile esprimendolo mediante un'opportuna base.
Se viene espresso mediante una base,perciò, gli verranno associate delle n-uple di valori(numeri) che permettono di eseguire operazioni con altri vettori dello stesso spazio (espressi con al stessa base) e di identificarlo geometricamente(se si tratta di un punto R^2 o R^3) medianti tali coordinate(componenti).
ad esempio se considero un vettore $ v(2,7) $ le cui componenti(coordinate) 2,7 sono relative alla base canonica del piano è giusto interpretarlo così: $ v(2,7)=2e1 + 7e2 $
ovvero se lo volessi rappresentare geometricamente mi disegno i due vettori e1 ed e2 e li dilato rispettivamente del doppio e di 7 e considero il vettore risultante.
Cioè le coordinate in un certo senso mi dicono in che relazione è rispetto ai vettori base considerati...piu o meno è così?
ultima cosa: l'interpretazione geometrica di due vettori linearmente indipendenti qual'è? ad esempio nel piano l'idea che mi sono fatto del fatto che siano linearmente indipendenti che e1 ed e2 sono linearmente indipendenti in quanto se considero e lo moltiplico per uno scalare,qualsiasi sia lo scalare in questione non otterro mai e2, visto che lo scalare mi dilata o restringe il vettore e1 ma non me lo gira di 90 gradi....
tale considerazione però mi pare valga solo nel piano perche nell spazio i vettori diventano 3 e sono possibli piu combinazioni
in pratica nel concetto piu generale un vettore dovrebbe essere immaginato come un punto indistinto(non ha coordinate per differenziarlo da un altro dello spazio vettoriale) ma che puoi può essere distinto da tutti gli altri punti dello spazio in maniera inequivocabile esprimendolo mediante un'opportuna base.
Se viene espresso mediante una base,perciò, gli verranno associate delle n-uple di valori(numeri) che permettono di eseguire operazioni con altri vettori dello stesso spazio (espressi con al stessa base) e di identificarlo geometricamente(se si tratta di un punto R^2 o R^3) medianti tali coordinate(componenti).
ad esempio se considero un vettore $ v(2,7) $ le cui componenti(coordinate) 2,7 sono relative alla base canonica del piano è giusto interpretarlo così: $ v(2,7)=2e1 + 7e2 $
ovvero se lo volessi rappresentare geometricamente mi disegno i due vettori e1 ed e2 e li dilato rispettivamente del doppio e di 7 e considero il vettore risultante.
Cioè le coordinate in un certo senso mi dicono in che relazione è rispetto ai vettori base considerati...piu o meno è così?
ultima cosa: l'interpretazione geometrica di due vettori linearmente indipendenti qual'è? ad esempio nel piano l'idea che mi sono fatto del fatto che siano linearmente indipendenti che e1 ed e2 sono linearmente indipendenti in quanto se considero e lo moltiplico per uno scalare,qualsiasi sia lo scalare in questione non otterro mai e2, visto che lo scalare mi dilata o restringe il vettore e1 ma non me lo gira di 90 gradi....
tale considerazione però mi pare valga solo nel piano perche nell spazio i vettori diventano 3 e sono possibli piu combinazioni
"xshadow":
in pratica nel concetto piu generale un vettore dovrebbe essere immaginato come un punto indistinto(non ha coordinate per differenziarlo da un altro dello spazio vettoriale) ma che puoi può essere distinto da tutti gli altri punti dello spazio in maniera inequivocabile esprimendolo mediante un'opportuna base.
Sul fatto che un vettore non si possa distinguere da un altro, quando non è assegnata una base allo spazio vettoriale, non saprei dirti con certezza. Qui servirebbe qualcuno più esperto a dirti...
In ogni caso, quando hai la base, ogni vettore ha una propria unica K-pla di coordinate rispetto alla base. Vettori diversi, coordinate diverse. Quindi su questo ci siamo.
Se viene espresso mediante una base,perciò, gli verranno associate delle n-uple di valori(numeri) che permettono di eseguire operazioni con altri vettori dello stesso spazio (espressi con al stessa base) e di identificarlo geometricamente(se si tratta di un punto R^2 o R^3) medianti tali coordinate(componenti).
ad esempio se considero un vettore v(2,7) le cui componenti(coordinate) 2,7 sono relative alla base canonica del piano è giusto interpretarlo così: v(2,7)=2e1+7e2
ovvero se lo volessi rappresentare geometricamente mi disegno i due vettori e1 ed e2 e li dilato rispettivamente del doppio e di 7 e considero il vettore risultante.
Cioè le coordinate in un certo senso mi dicono in che relazione è rispetto ai vettori base considerati...piu o meno è così?
L'ordine è questo:
1. hai un ambiente: il piano (concetto primitivo); lo indichiamo con $ pi $
2. hai lo spazio vettoriale dei vettori geometrici liberi su tale piano; lo indichiamo con $V^2$
in pratica presi 2 punti $P1, P2 in pi $, puoi unirli con un segmento orientato, ottenendo il vettore $vec(P1P2)$
3. fissi una base su $V^2$ , ovvero una terna composta da: un punto $P_0 in pi$, due vettori geometrici $vec(i), vec(j) in V^2$ linearmente indipendenti tra loro; lo spazio vettoriale $V^2$ con il sistema di riferimento suddetto, si indica con $V_0^2$
Ogni vettore geometrico $vec(v) in V_0^2$ si può scrivere rispetto alla base: $vec(v) = v_1 vec(i) + v_2 vec(j)$
4. $(v_1, v_2)$ sono le coordinate di $vec(v) in V_0^2$ rispetto al riferimento adottato. Tali coordinate sono una coppia di numeri reali, e quindi sono un elemento di $mathbb(R)^2$
NOTA:
Che legame esiste tra i vettori base $vec(i), vec(j)$ di $V^2$ e i vettori base $vec(e_1)=(1,0), vec(e_2)=(0,1)$ (coordinate canoniche) di $mathbb(R)^2$?
Fissata la base $vec(i), vec(j)$ di $V^2$, se esprimi $vec(i), vec(j)$ rispetto a se stessi le coordinate che ottieni sono le coordinate canoniche, infatti:
$vec(i) = 1 vec(i) + 0 vec(j)$ $-> (1,0)$
$vec(j) = 0 vec(i) + 1 vec(j)$ $-> (0,1)$
E al contrario cosa succede?
Cioè alle coordinate canoniche $(1,0), (0,1) in mathbb(R)^2$ che vettori geometrici corrispondono?
Corrispondono quelli della base usata in $V^2$.
Puoi quindi fissare un'applicazione lineare $f_B$ che dipende dalla base fissata in $V_0^2$:
$f_B: vec(v) in V_0^2 -> (c_1, c_2) in mathbb(R)^2$
che ad ogni vettore geometrico $vec(v) in V_0^2$ associa la coppia di coordinate di $ (c_1, c_2) in mathbb(R)^2$ rispetto alla base $B={vec(i), vec(j)}$.
L'applicazione $f_B$ dipende dalla base $B={vec(i), vec(j)}$ scelta su $V^2$.
Ti vorrei far notare che date due basi diverse su $V^2$: $B_1={vec(i_1), vec(j_1)}; B_2={vec(i_2), vec(j_2)}$ hai due applicazioni diverse: $f_(B_1), f_(B_2)$.
I vettori base di $B_1$, scritti rispetto a $B_1$ hanno coordinate canoniche, ovvero:
$f_(B_1)(vec(i_1)) = (1,0)$
$f_(B_1)(vec(j_1)) = (0,1)$
mentre i vettori di $B_2$ scritti rispetto a $B_1$ non hanno coordinate canoniche:
$f_(B_1)(vec(i_2)) != (1,0)$
$f_(B_1)(vec(j_2)) != (0,1)$
Quindi alle coordinate canoniche, corrispondono tramite $f_(B_1)$ i vettori della base $B_1$.
Discorso analogo: i vettori di $B_2$, scritti rispetto a $B_2$ hanno coordinate canoniche:
$f_(B_2)(vec(i_2)) = (1,0)$
$f_(B_2)(vec(j_2)) = (0,1)$
mentre i vettori di $B_1$ scritti rispetto a $B_2$ non hanno coordinate canoniche:
$f_(B_2)(vec(i_1)) != (1,0)$
$f_(B_2)(vec(j_1)) != (0,1)$
Quindi alle coordinate canoniche, corrispondono tramite $f_(B_2)$ i vettori della base $B_2$.
In questo modo, fissata la base sullo spazio geometrico, le operazioni che faresti in $V_0^2$ le puoi fare in modo equivalente su $mathbb(R)^2$ con le coordinate, e poi ottenuto il risultato torni su $V_0^2$.
Ad esempio:
In $V_0^2$ disegni i vettori geometrici (è quello che fai quando su un foglio (=piano) fissi un sistema di riferimento, e disegni le frecce), in $mathbb(R)^2$ hai coppie di numeri e fai le operazioni in modo algebrico.
Fissata la base $B={vec(i), vec(j)}$ su $V^2$, consideriamo i vettori $vec(v), vec(w) in V_0^2$ ad essi si associano le coordinate $(v_1, v_2), (w_1, w_2) in mathbb(R)^2$.
In $V_0^2$ la somma tra vettori si fa disegnando la regola del parallelogramma, mentre in $mathbb(R)^2$ la somma la fai tra i numeri delle coppie di coordinate.
Sia $vec(z)$ il vettore geometrico che ottieni facendo la regola del parallelogramma.
Sia $ (v_1 + w_1, v_2 + w_2)$ la coppia di coordinate ottenute sommando le coordinate (omonime) dei due vettori in $mathbb(R)^2$.
La coppia di coordinate $ (v_1 + w_1, v_2 + w_2)$ coincide con la coppia di coordinate $(z_1, z_2)$ del vettore $vec(z)$ ottenuto con il parallelogramma.
Stesse considerazioni si fanno se vuoi dilatare o comprimere un vettore geometrico in $V_0^2$: questo corrisponde a moltiplicare le coordinate per un numero (scalare), rispettivamente maggiore o minore di uno.
In pratica queste sono le operazioni che caratterizzano lo spazio vettoriale (somma, moltiplicazione per uno scalare).
Il fatto che le operazioni fatte in $V_0^2$ trovano corrispondenza in $ mathbb(R)^2$ e viceversa in modo univoco, è perché questi due spazi sono isomorfi una volta fissata la base $B$ su $V^2$, secondo l'applicazione $f_B$.
Sia $V^2$ che $mathbb(R)^2$ sono spazi vettoriali, il cui ambiente di riferimento è il piano. Solo che, il primo contiene vettori geometrici, mentre il secondo contiene coppie di numeri reali.
"xshadow":
ultima cosa: l'interpretazione geometrica di due vettori linearmente indipendenti qual'è? ad esempio nel piano l'idea che mi sono fatto del fatto che siano linearmente indipendenti che e1 ed e2 sono linearmente indipendenti in quanto se considero e lo moltiplico per uno scalare,qualsiasi sia lo scalare in questione non otterro mai e2, visto che lo scalare mi dilata o restringe il vettore e1 ma non me lo gira di 90 gradi....
tale considerazione però mi pare valga solo nel piano perche nell spazio i vettori diventano 3 e sono possibli piu combinazioni
Per l'indipendenza lineare partiamo dalla definizione:
N vettori sono linearmente indipendenti, se l'unico modo per ottenere il vettore nullo tramite una loro combinazione lineare è solo usando coefficienti tutti nulli.
Che significa? Eh, il discorso è lungo, quindi per semplicità ti dico che:
1. due vettori geometrici sono linearmente indipendenti se e solo se non sono paralleli; dal punto di vista delle coordinate, significa che le coordinate omonime non sono proporzionali. Altrimenti sono linearmente dipendenti.
Ad esempio: $vec(v), vec(w)$ con coordinate $(2,3), (20, 30)$ sono linearmente dipendenti perché le coordinate omonime sono tra loro proporzionali del fattore $10$. Mentre $(2,3), (20, 35)$ sono linearmente indipendenti.
2. tre o più vettori sono linearmente indipendenti se nessuno di essi, si può ottenere come combinazione lineare dei rimanenti.
Una base contiene il numero massimale di vettori linearmente indipendenti dello spazio vettoriale.
Se uno spazio ha dimensione N, il numero massimo di vettori lin. indip. è N. Se prendi più di N vettori, questi sono linearm. dipendenti con i vettori della base, ed è per questo che puoi scriverli partendo dalla base.
ps. tutti questi concetti li trovi su un qualsiasi libro di algebra lineare. Ad esempio, due libri semplici sono:
Manlio Bordoni - algebra lineare
Paolo Maroscia - introduzione alla geometria e all'algebra lineare
oppure puoi trovare facilmente dispense in rete
Ciao, Shun
grazie ,sei stato molto chiaro.
Concretamente perciò si puo ottenere una corrispondenza tra le coordinate del piano cartesiano in cui vogliamo rappresentare il vettore e le componenti del vettore stesso solo se questi è espresso nella base canonica: intendo dire che ad esempio in fisica se devo rappresentare geometricamente nel piano un vettore v(x,y) considero le sue componenti date e le faccio coincidere con le coordinate del mio piano cartesiano: tale operazione è lecita solo quando le componenti sono espresse nella base canonica ,ovvero mediante i versori (valore unitario).
DI solito si dà scontato nei problemi che le componenti del vettore dato siano rispetto alla base standard,ma se tali componenti fossero espresse da una base costituita da dei vettori non unitari(e dunque non versori) si avrebbe che le componenti date non coinciderebbero piu con le coordinate cartesiane.
ULTIMA COSA,poi prometto non rompo piu:
ci sono state date le matrici che rappresentano le principali operazioni di rotazione e simmetria su un piano,sia nel caso a 3 dimensioni
Ad esempio le matrici di riflessione rispetto all'asse x,a quello y,alla bisettrice ecc ben o male riesco a immaginarmele a mente e riprodurmele all'occorrenza.
Mentre la matrice di rotazione nel caso a due dimensioni e soprattutto a 3 ho difficoltà nel ricavarle.
Nel senso che il mio libro per ricavare la matrice di rotazione di un certo angolo nel piano fa una dimostrazione nel quale vengono chiamate all'appello anche le formule di addizione del seno e del coseno....Se seguo la dimostrazione riesco a capire del perche la matrice 2x2 di rotazione nel piano venga: $ ( ( cosalpha ,-senalpha ),( senalpha , cosalpha ) ) $
ma non riesco a intuirla immediatamente immaginandomi mentalmente la situazione.
Stesso discorso per una rotazione nello spazio rispetto all'asse z:
$ ( ( cosalpha , -senalpha , 0 ),( senalpha , cosalpha , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
L'unica cosa che capisco è che le colonne in qualche modo rappresenta Fe1,Fe2 Fe3,ovvero l'immagine dei vettori base quali è gia stata applicata l'operazione.
Mentre la prima colonna credo rappresenti una sorta di valore assunto dalla componente x nei 3 vettori base,la seconda la y e la terza la z.
L'unica cosa che riesco a immaginare è che z resta invariato. Pero ho difficoltà nell'identificare i valori della matrice di rotazione. L'unica intuitivo è la terza colonna $ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ che mostra l'immagine del vettore e3 invariata rispetto a prima dell'applicazione dell'operatore; ragionevole visto che la rotazione avviene lungo l'asse z(e perciò ragionevolmente il punto ruotando attorno a z non ha un cambiamento della coordinata z)
GRAZIE!!
Concretamente perciò si puo ottenere una corrispondenza tra le coordinate del piano cartesiano in cui vogliamo rappresentare il vettore e le componenti del vettore stesso solo se questi è espresso nella base canonica: intendo dire che ad esempio in fisica se devo rappresentare geometricamente nel piano un vettore v(x,y) considero le sue componenti date e le faccio coincidere con le coordinate del mio piano cartesiano: tale operazione è lecita solo quando le componenti sono espresse nella base canonica ,ovvero mediante i versori (valore unitario).
DI solito si dà scontato nei problemi che le componenti del vettore dato siano rispetto alla base standard,ma se tali componenti fossero espresse da una base costituita da dei vettori non unitari(e dunque non versori) si avrebbe che le componenti date non coinciderebbero piu con le coordinate cartesiane.
ULTIMA COSA,poi prometto non rompo piu:
ci sono state date le matrici che rappresentano le principali operazioni di rotazione e simmetria su un piano,sia nel caso a 3 dimensioni
Ad esempio le matrici di riflessione rispetto all'asse x,a quello y,alla bisettrice ecc ben o male riesco a immaginarmele a mente e riprodurmele all'occorrenza.
Mentre la matrice di rotazione nel caso a due dimensioni e soprattutto a 3 ho difficoltà nel ricavarle.
Nel senso che il mio libro per ricavare la matrice di rotazione di un certo angolo nel piano fa una dimostrazione nel quale vengono chiamate all'appello anche le formule di addizione del seno e del coseno....Se seguo la dimostrazione riesco a capire del perche la matrice 2x2 di rotazione nel piano venga: $ ( ( cosalpha ,-senalpha ),( senalpha , cosalpha ) ) $
ma non riesco a intuirla immediatamente immaginandomi mentalmente la situazione.
Stesso discorso per una rotazione nello spazio rispetto all'asse z:
$ ( ( cosalpha , -senalpha , 0 ),( senalpha , cosalpha , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
L'unica cosa che capisco è che le colonne in qualche modo rappresenta Fe1,Fe2 Fe3,ovvero l'immagine dei vettori base quali è gia stata applicata l'operazione.
Mentre la prima colonna credo rappresenti una sorta di valore assunto dalla componente x nei 3 vettori base,la seconda la y e la terza la z.
L'unica cosa che riesco a immaginare è che z resta invariato. Pero ho difficoltà nell'identificare i valori della matrice di rotazione. L'unica intuitivo è la terza colonna $ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ che mostra l'immagine del vettore e3 invariata rispetto a prima dell'applicazione dell'operatore; ragionevole visto che la rotazione avviene lungo l'asse z(e perciò ragionevolmente il punto ruotando attorno a z non ha un cambiamento della coordinata z)
GRAZIE!!
Se ti danno un vettore $vec(v)$ (ad esempio una velocità o una forza) con coordinate $((v_x), (v_y))$ rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano (ovvero un sistema di riferimento i cui vettori di base ${vec(i), vec(j)}$ sono ortogonali e a norma (lunghezza) unitaria; sono detti versori), le "componenti vettoriali" di $vec(v)$ sono i vettori (frecce):
$vec(v_x)=v_x vec(i)$
$vec(v_y)=v_y vec(j)$
Se ad esempio devi rappresentare un vettore velocità, di solito si considera che i vettori di base $vec(i), vec(j)$ siano versori (quindi frecce ortogonali di lunghezza unitaria nell'unità di misura ; in pratica sono frecce lunghe 1 m/s ...), e se $vec(v)$ ha coordinate $v_x=5$ [m/s] e $v_y= 10$ [m/s], allora le componenti vettoriali di $vec(v)$ sono:
$vec(v_x)=v_x vec(i)=5 vec(i)$
$vec(v_y)=v_y vec(j)=10 vec(j)$
Per chiarirti il tutto in modo specifico, prima di tutto ti ricordo che:
un sistema di riferimento (sdr) sul piano, è una terna costituita da un punto del piano, detto "origine", e due vettori lin.indip. che fanno da base.
Se i vettori di base sono ortogonali tra loro, allora il sdr si dice sdr ortogonale.
Se i vettori di base hanno lunghezza unitaria, questi si dicono versori, e se sono anche ortogonali tra loro, il sdr di dice ortonormale (o ortogonale monometrico).
Il sdr cartesiano è un sdr ortonormale.
Nel nostro caso:
- C'è un sistema di riferimento cartesiano per i vettori, la cui base è costituita da due versori $vec(i), vec(j)$ (nell'esempio della velocità, indicano velocità di 1m/s, in due direzioni tra loro ortogonali).
$vec(v_x), vec(v_y)$ sono le "componenti vettoriali" di $vec(v)$ e li rappresenti come frecce, la cui lunghezza è proporzionale a quella dei versori di base $vec(i), vec(j)$:
$vec(v_x)=v_x vec(i) + 0 vec(j)$
$vec(v_y)=0 vec(i)+v_y vec(j)$
e con il parallelogramma ottieni il vettore (freccia) $vec(v)$.
- C'è un sistema di riferimento cartesiano per disegnare le coordinate, che, come ti dicevo nel commento precedente, è indotto dalla base usata nello spazio geometrico. Il sdr cartesiano per le coordinate, ha come base le coordinate canoniche $((1), (0)), ((0),(1))$.
$v_x, v_y$ sono le coordinate delle componenti vettoriali rispetto alla base $vec(i), vec(j)$. Infatti:
$vec(v_x)=v_x vec(i) + 0 vec(j) -> (v_x, 0) = P_x$
$vec(v_y)=0 vec(i)+v_y vec(j) -> (0, v_y) = P_y$
e quindi sono due punti di $P_x, P_y in mathbb(R)^2$, che puoi scrivere in modo proporzionale alle coordinate canoniche:
$((v_x), (0)) = v_x ((1), (0)) + 0 ((0),(1))$
$((0), (v_y)) = 0 ((1), (0)) + v_y ((0),(1))$
quindi la coppia $(v_x, v_y)$, è la coordinata del vettore $vec(v)$.
Come vedi, ci sono un sdr per i vettori, e un sdr per le coordinate.
Tuttavia spesso (cioè sempre) non li si distingue in modo esplicito, e quindi si pensa (erroneamente) che siano la stessa cosa.
E' una sottigliezza, ma è per specificarti che il termine "base canonica" si usa solo per indicare i versori $((1),(0)) , ((0),(1))$ base dello spazio delle coordinate, e non è riferito alla base di versori $vec(i), vec(j)$ dello spazio geometrico.
In modo più specifico di così non saprei spiegartelo.
---------------------------------------------------------------------
EDIT: scusami, credo di averti detto una sciocchezza nel commento in cui ti dicevo che componenti e coordinate sono la stessa cosa. Infatti da ciò che ti ho scritto in questo commento, possiamo dire che:
1. un vettore di principio non ha ne coordinate ne componenti
2. se lo spazio vettoriale ha dimensione k, allora fissata una base di k vettori, possiamo associare al vettore $vec(v)$ k "coordinate", una rispetto ad ogni vettore della base:
$vec(v) = c_1vec(b_1) + ... + c_kvec(b_k)$
le coordinate di $vec(v)$ nella base $B={vec(b_1), ... , vec(b_k) }$ sono: $(c_1, ..., c_k)$
3. ogni vettore della base moltiplicato per la coordinata associata, è una "componente vettoriale" del vettore $vec(v)$
$vec(v) = c_1vec(b_1) + ... + c_kvec(b_k) = vec(v_1) + ... + vec(v_k)$
le componenti vettoriali di $vec(v)$ nella base $B={vec(b_1), ... , vec(b_k) }$ sono: $(vec(v_1), ... , vec(v_k))$
Esempi:
1.
Sia $vec(v)$ un vettore geometrico sul piano
Siano $vec(i), vec(j)$ una base dello spazio vettoriale dei vettori geometrici sul piano
allora:
$vec(v) = c_1vec(i) + c_2vec(j)$
$(c_1, c_2)$ sono le coordinate di $vec(v)$ nella base $vec(i), vec(j)$
$vec(v_1)=c_1vec(i)$ e $vec(v_2)=c_2vec(j)$ sono le componenti vettoriali di $vec(v)$ nella base $vec(i), vec(j)$
2.
Sia $vec(v)=((x_1),(x_2))$ un vettore (2-pla) di $mathbb(R)^2$
Siano $vec(b_1)=((alpha_1),(alpha_2)), vec(b_2)=((beta_1),(beta_2))$ una base dello spazio vettoriale $mathbb(R)^2$
allora:
$vec(v) = ((x_1),(x_2))=c_1vec(b_1) + c_2vec(b_2)=c_1((alpha_1),(alpha_2)) + c_2((beta_1),(beta_2))$
$(c_1, c_2)$ sono le coordinate di $vec(v)=((x_1),(x_2))$ nella base $vec(b_1), vec(b_2)$
$vec(v_1)=c_1vec(b_1)=((c_1alpha_1),(c_1alpha_2))$ e $vec(v_2)=c_2vec(b_2)=((c_2beta_1),(c_2beta_2))$ sono le componenti vettoriali di $vec(v)$ nella base $vec(b_1), vec(b_2)$
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per la matrice di rotazione sul piano, cosa non è chiaro?
Se a memoria la matrice non la ricordi, il mio consiglio è fare un disegnino veloce e si capisce al volo cosa succede, e quindi ti ricavi subito la matrice facendo quei due passaggi matematici.
Dato un punto $P$ con coordinate $((x), (y))$, le sue coordinate polari sono $(r, theta)$, e quindi:
$ { ( x=rcos(theta)),( y=rsin(theta) ):} $
Se vuoi ruotare il punto in senso orario di un angolo $alpha$, sottrai tale angolo all'angolo $theta$ e ottieni le nuove coordinate $((x^{\prime}),(y^{\prime}))$:
$ { ( x^{\prime}=rcos(theta-alpha)),( y^{\prime}=rsin(theta-alpha) ):} $
e quindi:
$ { ( x^{\prime}=rcos(theta)cos(alpha) + rsin(theta)sin(alpha) = xcos(alpha) + ysin(alpha) ), ( y^{\prime}=rsin(theta)cos(alpha) -
rcos(theta)sin(alpha) = xsin(alpha) - ycos(alpha)):} $
la matrice di rotazione è (scrivo i coefficienti delle equazioni, per righe):
$ ( ( cos(alpha) , sin(alpha) ),( sin(alpha) , - cos(alpha) ) ) $
Quindi dato un punto $((x),(y))$, il punto ruotato $((x^{\prime}),(y^{\prime}))$, si ottiene facendo il prodotto righe per colonne:
$((x^{\prime}),(y^{\prime})) = ( ( cos(alpha) , sin(alpha) ),( sin(alpha) , - cos(alpha) ) ) ((x),(y))$
Se invece vuoi ruotare il punto in senso antiorario di un angolo $alpha$, sommi tale angolo all'angolo $theta$ e ottieni:
$ { ( x^{\prime}=rcos(theta+alpha) ),( y^{\prime}=rsin(theta+alpha) ):} $
e quindi:
$ { ( x^{\prime}=rcos(theta)cos(alpha) - rsin(theta)sin(alpha) = xcos(alpha) - ysin(alpha) ), ( y^{\prime}=rsin(theta)cos(alpha) + rcos(theta)sin(alpha) = xsin(alpha) + ycos(alpha) ) :} $
la matrice di rotazione è:
$ ( ( cos(alpha) , -sin(alpha) ),( sin(alpha) , cos(alpha) ) ) $
Quindi dato un punto $((x),(y))$, il punto ruotato $((x^{\prime}),(y^{\prime}))$, si ottiene facendo il prodotto righe per colonne:
$((x^{\prime}),(y^{\prime})) = ( ( cos(alpha) , -sin(alpha) ),( sin(alpha) , cos(alpha)) ) ((x),(y))$
ps. per ricordare le formule di addizione/sottrazione, mi ricordo che per il coseno ci sono tre coseni di fila e poi il segno opposto a quello dell'operazione.
Per la rotazione di un punto nello spazio 3d che scrivi, in pratica stai mantenendo fissa la coordinata $z$ e ruoti il punto rispetto al piano $x,y$.
Quindi dato un punto $P$ con coordinate $((x), (y), (z))$, il punto $P^{\prime}$ ruotato in senso antiorario (+) o orario (-) intorno all'asse z, mantenendo fissa la coordinata z ha coordinate:
$ { ( x^{\prime}=rcos(theta+-alpha)),( y^{\prime}=rsin(theta+-alpha) ), (z^{\prime}=z):} $
Ad esempio nel caso antiorario ottieni:
$ { ( x^{\prime}= xcos(alpha) - ysin(alpha) ), ( y^{\prime}= xsin(alpha) + ycos(alpha) ), (z^{\prime}=z):} $
e quindi la matrice di rotazione è:
$ ( ( cos(alpha) , -sin(alpha), 0 ),( sin(alpha) , cos(alpha), 0 ), (0, 0, 1) ) $
Quindi dato un punto $((x),(y),(z))$, il punto ruotato $((x^{\prime}),(y^{\prime}),(z^{\prime}))$, si ottiene facendo il prodotto righe per colonne:
$((x^{\prime}),(y^{\prime}),(z^{\prime})) = ( ( cos(alpha) , -sin(alpha), 0 ),( sin(alpha) , cos(alpha), 0 ), (0, 0, 1) ) ((x),(y),(z))$
Questo è quanto.
Spero sia tutto chiaro.
Ciao, Shun.
$vec(v_x)=v_x vec(i)$
$vec(v_y)=v_y vec(j)$
Se ad esempio devi rappresentare un vettore velocità, di solito si considera che i vettori di base $vec(i), vec(j)$ siano versori (quindi frecce ortogonali di lunghezza unitaria nell'unità di misura ; in pratica sono frecce lunghe 1 m/s ...), e se $vec(v)$ ha coordinate $v_x=5$ [m/s] e $v_y= 10$ [m/s], allora le componenti vettoriali di $vec(v)$ sono:
$vec(v_x)=v_x vec(i)=5 vec(i)$
$vec(v_y)=v_y vec(j)=10 vec(j)$
Per chiarirti il tutto in modo specifico, prima di tutto ti ricordo che:
un sistema di riferimento (sdr) sul piano, è una terna costituita da un punto del piano, detto "origine", e due vettori lin.indip. che fanno da base.
Se i vettori di base sono ortogonali tra loro, allora il sdr si dice sdr ortogonale.
Se i vettori di base hanno lunghezza unitaria, questi si dicono versori, e se sono anche ortogonali tra loro, il sdr di dice ortonormale (o ortogonale monometrico).
Il sdr cartesiano è un sdr ortonormale.
Nel nostro caso:
- C'è un sistema di riferimento cartesiano per i vettori, la cui base è costituita da due versori $vec(i), vec(j)$ (nell'esempio della velocità, indicano velocità di 1m/s, in due direzioni tra loro ortogonali).
$vec(v_x), vec(v_y)$ sono le "componenti vettoriali" di $vec(v)$ e li rappresenti come frecce, la cui lunghezza è proporzionale a quella dei versori di base $vec(i), vec(j)$:
$vec(v_x)=v_x vec(i) + 0 vec(j)$
$vec(v_y)=0 vec(i)+v_y vec(j)$
e con il parallelogramma ottieni il vettore (freccia) $vec(v)$.
- C'è un sistema di riferimento cartesiano per disegnare le coordinate, che, come ti dicevo nel commento precedente, è indotto dalla base usata nello spazio geometrico. Il sdr cartesiano per le coordinate, ha come base le coordinate canoniche $((1), (0)), ((0),(1))$.
$v_x, v_y$ sono le coordinate delle componenti vettoriali rispetto alla base $vec(i), vec(j)$. Infatti:
$vec(v_x)=v_x vec(i) + 0 vec(j) -> (v_x, 0) = P_x$
$vec(v_y)=0 vec(i)+v_y vec(j) -> (0, v_y) = P_y$
e quindi sono due punti di $P_x, P_y in mathbb(R)^2$, che puoi scrivere in modo proporzionale alle coordinate canoniche:
$((v_x), (0)) = v_x ((1), (0)) + 0 ((0),(1))$
$((0), (v_y)) = 0 ((1), (0)) + v_y ((0),(1))$
quindi la coppia $(v_x, v_y)$, è la coordinata del vettore $vec(v)$.
Come vedi, ci sono un sdr per i vettori, e un sdr per le coordinate.
Tuttavia spesso (cioè sempre) non li si distingue in modo esplicito, e quindi si pensa (erroneamente) che siano la stessa cosa.
E' una sottigliezza, ma è per specificarti che il termine "base canonica" si usa solo per indicare i versori $((1),(0)) , ((0),(1))$ base dello spazio delle coordinate, e non è riferito alla base di versori $vec(i), vec(j)$ dello spazio geometrico.
In modo più specifico di così non saprei spiegartelo.
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EDIT: scusami, credo di averti detto una sciocchezza nel commento in cui ti dicevo che componenti e coordinate sono la stessa cosa. Infatti da ciò che ti ho scritto in questo commento, possiamo dire che:
1. un vettore di principio non ha ne coordinate ne componenti
2. se lo spazio vettoriale ha dimensione k, allora fissata una base di k vettori, possiamo associare al vettore $vec(v)$ k "coordinate", una rispetto ad ogni vettore della base:
$vec(v) = c_1vec(b_1) + ... + c_kvec(b_k)$
le coordinate di $vec(v)$ nella base $B={vec(b_1), ... , vec(b_k) }$ sono: $(c_1, ..., c_k)$
3. ogni vettore della base moltiplicato per la coordinata associata, è una "componente vettoriale" del vettore $vec(v)$
$vec(v) = c_1vec(b_1) + ... + c_kvec(b_k) = vec(v_1) + ... + vec(v_k)$
le componenti vettoriali di $vec(v)$ nella base $B={vec(b_1), ... , vec(b_k) }$ sono: $(vec(v_1), ... , vec(v_k))$
Esempi:
1.
Sia $vec(v)$ un vettore geometrico sul piano
Siano $vec(i), vec(j)$ una base dello spazio vettoriale dei vettori geometrici sul piano
allora:
$vec(v) = c_1vec(i) + c_2vec(j)$
$(c_1, c_2)$ sono le coordinate di $vec(v)$ nella base $vec(i), vec(j)$
$vec(v_1)=c_1vec(i)$ e $vec(v_2)=c_2vec(j)$ sono le componenti vettoriali di $vec(v)$ nella base $vec(i), vec(j)$
2.
Sia $vec(v)=((x_1),(x_2))$ un vettore (2-pla) di $mathbb(R)^2$
Siano $vec(b_1)=((alpha_1),(alpha_2)), vec(b_2)=((beta_1),(beta_2))$ una base dello spazio vettoriale $mathbb(R)^2$
allora:
$vec(v) = ((x_1),(x_2))=c_1vec(b_1) + c_2vec(b_2)=c_1((alpha_1),(alpha_2)) + c_2((beta_1),(beta_2))$
$(c_1, c_2)$ sono le coordinate di $vec(v)=((x_1),(x_2))$ nella base $vec(b_1), vec(b_2)$
$vec(v_1)=c_1vec(b_1)=((c_1alpha_1),(c_1alpha_2))$ e $vec(v_2)=c_2vec(b_2)=((c_2beta_1),(c_2beta_2))$ sono le componenti vettoriali di $vec(v)$ nella base $vec(b_1), vec(b_2)$
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Per la matrice di rotazione sul piano, cosa non è chiaro?
Se a memoria la matrice non la ricordi, il mio consiglio è fare un disegnino veloce e si capisce al volo cosa succede, e quindi ti ricavi subito la matrice facendo quei due passaggi matematici.
Dato un punto $P$ con coordinate $((x), (y))$, le sue coordinate polari sono $(r, theta)$, e quindi:
$ { ( x=rcos(theta)),( y=rsin(theta) ):} $
Se vuoi ruotare il punto in senso orario di un angolo $alpha$, sottrai tale angolo all'angolo $theta$ e ottieni le nuove coordinate $((x^{\prime}),(y^{\prime}))$:
$ { ( x^{\prime}=rcos(theta-alpha)),( y^{\prime}=rsin(theta-alpha) ):} $
e quindi:
$ { ( x^{\prime}=rcos(theta)cos(alpha) + rsin(theta)sin(alpha) = xcos(alpha) + ysin(alpha) ), ( y^{\prime}=rsin(theta)cos(alpha) -
rcos(theta)sin(alpha) = xsin(alpha) - ycos(alpha)):} $
la matrice di rotazione è (scrivo i coefficienti delle equazioni, per righe):
$ ( ( cos(alpha) , sin(alpha) ),( sin(alpha) , - cos(alpha) ) ) $
Quindi dato un punto $((x),(y))$, il punto ruotato $((x^{\prime}),(y^{\prime}))$, si ottiene facendo il prodotto righe per colonne:
$((x^{\prime}),(y^{\prime})) = ( ( cos(alpha) , sin(alpha) ),( sin(alpha) , - cos(alpha) ) ) ((x),(y))$
Se invece vuoi ruotare il punto in senso antiorario di un angolo $alpha$, sommi tale angolo all'angolo $theta$ e ottieni:
$ { ( x^{\prime}=rcos(theta+alpha) ),( y^{\prime}=rsin(theta+alpha) ):} $
e quindi:
$ { ( x^{\prime}=rcos(theta)cos(alpha) - rsin(theta)sin(alpha) = xcos(alpha) - ysin(alpha) ), ( y^{\prime}=rsin(theta)cos(alpha) + rcos(theta)sin(alpha) = xsin(alpha) + ycos(alpha) ) :} $
la matrice di rotazione è:
$ ( ( cos(alpha) , -sin(alpha) ),( sin(alpha) , cos(alpha) ) ) $
Quindi dato un punto $((x),(y))$, il punto ruotato $((x^{\prime}),(y^{\prime}))$, si ottiene facendo il prodotto righe per colonne:
$((x^{\prime}),(y^{\prime})) = ( ( cos(alpha) , -sin(alpha) ),( sin(alpha) , cos(alpha)) ) ((x),(y))$
ps. per ricordare le formule di addizione/sottrazione, mi ricordo che per il coseno ci sono tre coseni di fila e poi il segno opposto a quello dell'operazione.
Per la rotazione di un punto nello spazio 3d che scrivi, in pratica stai mantenendo fissa la coordinata $z$ e ruoti il punto rispetto al piano $x,y$.
Quindi dato un punto $P$ con coordinate $((x), (y), (z))$, il punto $P^{\prime}$ ruotato in senso antiorario (+) o orario (-) intorno all'asse z, mantenendo fissa la coordinata z ha coordinate:
$ { ( x^{\prime}=rcos(theta+-alpha)),( y^{\prime}=rsin(theta+-alpha) ), (z^{\prime}=z):} $
Ad esempio nel caso antiorario ottieni:
$ { ( x^{\prime}= xcos(alpha) - ysin(alpha) ), ( y^{\prime}= xsin(alpha) + ycos(alpha) ), (z^{\prime}=z):} $
e quindi la matrice di rotazione è:
$ ( ( cos(alpha) , -sin(alpha), 0 ),( sin(alpha) , cos(alpha), 0 ), (0, 0, 1) ) $
Quindi dato un punto $((x),(y),(z))$, il punto ruotato $((x^{\prime}),(y^{\prime}),(z^{\prime}))$, si ottiene facendo il prodotto righe per colonne:
$((x^{\prime}),(y^{\prime}),(z^{\prime})) = ( ( cos(alpha) , -sin(alpha), 0 ),( sin(alpha) , cos(alpha), 0 ), (0, 0, 1) ) ((x),(y),(z))$
Questo è quanto.
Spero sia tutto chiaro.
Ciao, Shun.
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