Coefficienti forma differenziale
Ciao, amici! Trovo sul mio testo di geometria, il Sernesi, che ogni $r$-forma differenziale $\omega$ su un aperto \(U\subset\mathbb{R}^n\) si può esprimere in modo unico come\[\omega=\sum f_J \text{d}u_J\]dove la somma è estesa agli $r$-multiindici crescenti \(J=\{j_{1}...j_{r}\}\), $f_I$ sono funzioni a valori reali definite su $U$ e \(\text{d}u_J\) sono prodotti esterni tra le 1-forme \(\text{d}u_i\).
Ora, l'autore del mio testo dice che i coefficienti $f_J=f_{j_{1}...j_{r}}$ si possono scrivere \( f_{j_1...j_r}=\omega\Big( \frac{\partial}{\partial u_{j_1}},...,\frac{\partial}{\partial u_{j_r}} \Big)\).
Ho le travegole (probabile) o dovrebbe essere \( f_{j_1...j_r}=r! \omega\Big( \frac{\partial}{\partial u_{j_1}},...,\frac{\partial}{\partial u_{j_r}} \Big)\)?
A me sembra che, chiamando un $r$-multiindice \(I=\{i_{1}...i_{r}\}\), per ogni \(\mathbf{u}\in U\) e \(J=\{j_{1}...j_{r}\}\) crescenti si abbia\[\text{d}u_{j_1}(\mathbf{u})\wedge...\wedge\text{d}u_{j_r}(\mathbf{u}) \Big(\frac{\partial}{\partial u_{i_1}}(\mathbf{u}),...,\frac{\partial}{\partial u_{i_r}}(\mathbf{u})\Big)= \begin{cases}±\frac{1}{r!}&\text{se }I\text{ è permutazione di }J\\0&\text{altrimenti}\end{cases}\]dove il segno di $±1/{r!}$ è quello della permutazione, da cui mi parrebbe chiaro che discenda la formula che ho scritto con $r!$ (considerando anche che non compaiono negli addendi \(\text{d}u_J\) permutazioni diverse dall'identità nei multiindici), o no...?
\(\infty\) grazie a tutti!!!
Ora, l'autore del mio testo dice che i coefficienti $f_J=f_{j_{1}...j_{r}}$ si possono scrivere \( f_{j_1...j_r}=\omega\Big( \frac{\partial}{\partial u_{j_1}},...,\frac{\partial}{\partial u_{j_r}} \Big)\).
Ho le travegole (probabile) o dovrebbe essere \( f_{j_1...j_r}=r! \omega\Big( \frac{\partial}{\partial u_{j_1}},...,\frac{\partial}{\partial u_{j_r}} \Big)\)?
A me sembra che, chiamando un $r$-multiindice \(I=\{i_{1}...i_{r}\}\), per ogni \(\mathbf{u}\in U\) e \(J=\{j_{1}...j_{r}\}\) crescenti si abbia\[\text{d}u_{j_1}(\mathbf{u})\wedge...\wedge\text{d}u_{j_r}(\mathbf{u}) \Big(\frac{\partial}{\partial u_{i_1}}(\mathbf{u}),...,\frac{\partial}{\partial u_{i_r}}(\mathbf{u})\Big)= \begin{cases}±\frac{1}{r!}&\text{se }I\text{ è permutazione di }J\\0&\text{altrimenti}\end{cases}\]dove il segno di $±1/{r!}$ è quello della permutazione, da cui mi parrebbe chiaro che discenda la formula che ho scritto con $r!$ (considerando anche che non compaiono negli addendi \(\text{d}u_J\) permutazioni diverse dall'identità nei multiindici), o no...?
\(\infty\) grazie a tutti!!!
Risposte
In questo momento non ho modo di controllare il Sernesi, ma ti consiglio di verificare che la definizione del libro di prodotto esterno coincida con quella da te adottata. Si introducono infatti spesso dei coefficienti nel prodotto che hanno l'unico scopo di rendere le formule come quella che hai scritto più "belle". In effetti, io ho sempre usato le formule indicate nel Sernesi senza tutti quei fattoriali.
$\infty$ grazie!!!
In effetti a me sembrerebbe che, se si definisse \( f_{j_1...j_r}= \omega\Big( \frac{\partial}{\partial u_{j_1}},...,\frac{\partial}{\partial u_{j_r}} \Big) \) allora si dovrebbe scrivere \(\omega=\frac{1}{r!}\sum f_J \text{d}u_J\), meno elegante di \(\omega=\sum f_J \text{d}u_J\)...
L'espressione di \(\text{d}u_{j_1}(\mathbf{u})\wedge...\wedge\text{d}u_{j_r}(\mathbf{u}) \Big(\frac{\partial}{\partial u_{i_1}}(\mathbf{u}),...,\frac{\partial}{\partial u_{i_r}}(\mathbf{u})\Big)\), e conseguentemente di \(f_{j_1...j_r}\), che ho ricavato io si basa proprio su quanto dice il Sernesi poche pagine prima, a p. 339 (con quella che mi sembra una conferma in alto a p. 340), quando illustra che, essendo \(\{\mathbf{e}_1,...,\mathbf{e}_n\}\) la base di uno spazio vettoriale e \(\{x_1,...,x_n\}\) la base duale,si ha
Grazie di cuore ancora!!!
In effetti a me sembrerebbe che, se si definisse \( f_{j_1...j_r}= \omega\Big( \frac{\partial}{\partial u_{j_1}},...,\frac{\partial}{\partial u_{j_r}} \Big) \) allora si dovrebbe scrivere \(\omega=\frac{1}{r!}\sum f_J \text{d}u_J\), meno elegante di \(\omega=\sum f_J \text{d}u_J\)...
L'espressione di \(\text{d}u_{j_1}(\mathbf{u})\wedge...\wedge\text{d}u_{j_r}(\mathbf{u}) \Big(\frac{\partial}{\partial u_{i_1}}(\mathbf{u}),...,\frac{\partial}{\partial u_{i_r}}(\mathbf{u})\Big)\), e conseguentemente di \(f_{j_1...j_r}\), che ho ricavato io si basa proprio su quanto dice il Sernesi poche pagine prima, a p. 339 (con quella che mi sembra una conferma in alto a p. 340), quando illustra che, essendo \(\{\mathbf{e}_1,...,\mathbf{e}_n\}\) la base di uno spazio vettoriale e \(\{x_1,...,x_n\}\) la base duale,si ha
"E. Sernesi, Geometria 2":1pl8xhrf:
\[x_{i_1}\wedge...\wedge x_{i_r} (\mathbf{e}_{j_1},...,\mathbf{e}_{j_r}) = \begin{cases}±\frac{1}{r!}&\text{se }J\text{ è una permutazione di }I\\0&\text{altrimenti}\end{cases} \]
Grazie di cuore ancora!!!
Trovo sul mio testo di geometria, il Sernesi
Spero che comprerai presto un libro di Geometria piu' serio.
Grazie di cuore anche a te, killing_buddha, per l'implicito consiglio... 
Comunque, ragazzi, è giusta la mia interpretazione? Direi che per ogni \(\mathbf{u}\in U\subset\mathbb{R}^n\) il differenziale \(\text{d}u_i\) agisca come proiezione, essendo \(\text{d}u_i (\mathbf{u})\) il funzionale lineare che come vettore è l'$i$-esimo della base duale \(\{x_1,...,x_n\}\) della base canonica \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial u_1}\Big)_{\mathbf{u}},...,\Big(\frac{\partial}{\partial u_n}\Big)_{\mathbf{u}}\Big\} \), per cui \(\text{d}u_{J}(\mathbf{u})=\text{d}u_{j_1}(\mathbf{u})\wedge...\wedge\text{d}u_{j_r}(\mathbf{u})=x_{j_1}\wedge...\wedge x_{j_r}\) e vale quindi, chiamando \(\epsilon(\pi)\) il segno della permutazione di $J$, che\[\text{d}u_{j_1}(\mathbf{u})\wedge...\wedge\text{d}u_{j_r}(\mathbf{u}) \Big(\frac{\partial}{\partial u_{i_1}}(\mathbf{u}),...,\frac{\partial}{\partial u_{i_r}}(\mathbf{u})\Big)= \begin{cases}\epsilon(\pi)\frac{1}{r!}&\text{se }I\text{ è permutazione di }J\\0&\text{altrimenti}\end{cases}\]come scrive per \(x_{j_1}\wedge...\wedge x_{j_r}\) il Sernesi.
Da questo mi sembra ovvio (ed è quindi probabile che sbagli) che, estendendo la seguente sommatoria agli \(\binom{n}{r}\) soli $r$-multiindici crescenti, che quindi non presentano permutazioni tra i differenziali \(\text{d}u_j\), \[\omega\Big(\frac{\partial}{\partial u_{i_1}}(\mathbf{u}),...,\frac{\partial}{\partial u_{i_r}}(\mathbf{u})\Big)=\sum f_J \text{d}u_J\Big(\frac{\partial}{\partial u_{i_1}}(\mathbf{u}),...,\frac{\partial}{\partial u_{i_r}}(\mathbf{u})\Big)=\frac{1}{r!} f_{i_{1}...i_{r}}\]o no?
\(\aleph_1\) grazie a tutti!!!
Comunque, ragazzi, è giusta la mia interpretazione? Direi che per ogni \(\mathbf{u}\in U\subset\mathbb{R}^n\) il differenziale \(\text{d}u_i\) agisca come proiezione, essendo \(\text{d}u_i (\mathbf{u})\) il funzionale lineare che come vettore è l'$i$-esimo della base duale \(\{x_1,...,x_n\}\) della base canonica \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial u_1}\Big)_{\mathbf{u}},...,\Big(\frac{\partial}{\partial u_n}\Big)_{\mathbf{u}}\Big\} \), per cui \(\text{d}u_{J}(\mathbf{u})=\text{d}u_{j_1}(\mathbf{u})\wedge...\wedge\text{d}u_{j_r}(\mathbf{u})=x_{j_1}\wedge...\wedge x_{j_r}\) e vale quindi, chiamando \(\epsilon(\pi)\) il segno della permutazione di $J$, che\[\text{d}u_{j_1}(\mathbf{u})\wedge...\wedge\text{d}u_{j_r}(\mathbf{u}) \Big(\frac{\partial}{\partial u_{i_1}}(\mathbf{u}),...,\frac{\partial}{\partial u_{i_r}}(\mathbf{u})\Big)= \begin{cases}\epsilon(\pi)\frac{1}{r!}&\text{se }I\text{ è permutazione di }J\\0&\text{altrimenti}\end{cases}\]come scrive per \(x_{j_1}\wedge...\wedge x_{j_r}\) il Sernesi.
Da questo mi sembra ovvio (ed è quindi probabile che sbagli) che, estendendo la seguente sommatoria agli \(\binom{n}{r}\) soli $r$-multiindici crescenti, che quindi non presentano permutazioni tra i differenziali \(\text{d}u_j\), \[\omega\Big(\frac{\partial}{\partial u_{i_1}}(\mathbf{u}),...,\frac{\partial}{\partial u_{i_r}}(\mathbf{u})\Big)=\sum f_J \text{d}u_J\Big(\frac{\partial}{\partial u_{i_1}}(\mathbf{u}),...,\frac{\partial}{\partial u_{i_r}}(\mathbf{u})\Big)=\frac{1}{r!} f_{i_{1}...i_{r}}\]o no?
\(\aleph_1\) grazie a tutti!!!
Come ti dicevano sopra, a volte uno assorbe nella definizione di prodotto esterno una qualche schifezza fattoriale che ti viene fuori dalla combinatoria che usi. Capire quale convenzione si adotta e' a volte lasciato al lettore, altre volte invece si ha la fortuna di leggere libri seri, dove le cose sono fatte per bene: io queste cose le ho lette in diecimila posti e imparate davvero solo qui: http://www.math.unipd.it/~candiler/dida ... iff_04.pdf nel capitolo sulle forme differenziali. Allo stesso modo diffida di qualsiasi fonte cerchi di insegnarti la dualita' di Hodge, se prima non hai provato a capirla li'.
E ringrazia soprattutto che stai (ancora) facendo algebra differenziale su moduli senza torsione, su anelli senza torsione.
E ringrazia soprattutto che stai (ancora) facendo algebra differenziale su moduli senza torsione, su anelli senza torsione.
Beh, se uno in gamba come te (non è ovviamente una sviolinata perché è ovvio che è così) ha trovato tanto migliore il taglio didattico di queste dispense non posso che fidarmi!
Molto interessanti...
\(\aleph_2\) grazie!
Molto interessanti...
\(\aleph_2\) grazie!
Come ho scritto in un nuovo topic che ho aperto apposta perché mi sembrava un argomento interessante a prescindere dal calcolo dei coefficienti della forma differenziale, ho l'impressione che il Sernesi utilizzi due definizioni un pochino diverse di prodotto esterno tra tensori alterni...
EDIT: ...e da quanto apprendo grazie ai consigli di j18eos e killing_buddha sembra proprio che sia così.
EDIT: ...e da quanto apprendo grazie ai consigli di j18eos e killing_buddha sembra proprio che sia così.
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