Co-numerabile topologia
Considera \( \mathbb{R} \) con la topologia co-numerabile e dimostra che nessuna successione a valori in \((0,1) \) può convergere a \(2\).
Deduci che non possiamo descrivere la chiusura di un insieme con la convergenza di una successione.
Allora siccome \( \operatorname{cl}((0,1)) = \mathbb{R} \), poiché i chiusi in \( \mathbb{R} \) con la topologia co-numerabile sono numerabili e dunque l'unico chiuso che contiene \( (0,1) \) è \( \mathbb{R} \) stesso, allora se nessuna succession può converge al \(2\) allora chiaramente la chiusura di \((0,1) \) non può essere descritta con la convergenza delle successioni.
Supponiamo che esista una successione \((x_n)_{n \in \mathbb{N} } \) a valori in \((0,1) \) che converge a \( 2 \) allora per ogni aperto contenente il \(2 \), diciamo \(2\in U \), abbiamo che esiste un \(n_U \) tale che per ogni \( n \geq n_U \) risulta che \( x_n \in U \).
Se siamo fortunati esiste un aperto contente il \(2 \) che non interesca il \( (0,1) \).
Purtroppo abbiamo che tutti gli aperti di \( \mathbb{R} \) intersecano \( (0,1) \) infatti abbiamo che se \( U \) è un aperto che non interseca \((0,1) \) allora \( (0,1) \subseteq \mathbb{R} \setminus U \) ma è impossibile siccome \((0,1) \) non è numerabile e \(\mathbb{R} \setminus U \) è chiuso e quindi numerabile, quindi dobbiamo costruire un aperto che contiene il \(2 \) ma che non contiene nessun elemento della successione.
Pertanto consideriamo \( V := \{ x_n | n \in \mathbb{N} \} \)
Abbiamo che \( V \) è numerabile e pertanto \( \mathbb{R} \setminus V \) è aperto. Siccome \(2 \not\in V \) poiché \( x_n \in (0,1) \) per ogni \(n \) risulta che \( 2 \in \mathbb{R} \setminus V \) ma per definizione di \( V \) per ogni \(n \in \mathbb{N}\) abbiamo che \( x_n \not\in \mathbb{R} \setminus V \).
Vi sembra corretto?
Deduci che non possiamo descrivere la chiusura di un insieme con la convergenza di una successione.
Allora siccome \( \operatorname{cl}((0,1)) = \mathbb{R} \), poiché i chiusi in \( \mathbb{R} \) con la topologia co-numerabile sono numerabili e dunque l'unico chiuso che contiene \( (0,1) \) è \( \mathbb{R} \) stesso, allora se nessuna succession può converge al \(2\) allora chiaramente la chiusura di \((0,1) \) non può essere descritta con la convergenza delle successioni.
Supponiamo che esista una successione \((x_n)_{n \in \mathbb{N} } \) a valori in \((0,1) \) che converge a \( 2 \) allora per ogni aperto contenente il \(2 \), diciamo \(2\in U \), abbiamo che esiste un \(n_U \) tale che per ogni \( n \geq n_U \) risulta che \( x_n \in U \).
Se siamo fortunati esiste un aperto contente il \(2 \) che non interesca il \( (0,1) \).
Purtroppo abbiamo che tutti gli aperti di \( \mathbb{R} \) intersecano \( (0,1) \) infatti abbiamo che se \( U \) è un aperto che non interseca \((0,1) \) allora \( (0,1) \subseteq \mathbb{R} \setminus U \) ma è impossibile siccome \((0,1) \) non è numerabile e \(\mathbb{R} \setminus U \) è chiuso e quindi numerabile, quindi dobbiamo costruire un aperto che contiene il \(2 \) ma che non contiene nessun elemento della successione.
Pertanto consideriamo \( V := \{ x_n | n \in \mathbb{N} \} \)
Abbiamo che \( V \) è numerabile e pertanto \( \mathbb{R} \setminus V \) è aperto. Siccome \(2 \not\in V \) poiché \( x_n \in (0,1) \) per ogni \(n \) risulta che \( 2 \in \mathbb{R} \setminus V \) ma per definizione di \( V \) per ogni \(n \in \mathbb{N}\) abbiamo che \( x_n \not\in \mathbb{R} \setminus V \).
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Risposte
Si, in questa topologia è anche possibile caratterizzare le successioni convergenti, se vuoi provaci.
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