CNES perché uno spazio quoziente sia di Hausdorff
Sia [tex]$X$[/tex] uno spazio topologico compatto e di Hausdorff. Sia [tex]$Y$[/tex] il suo spazio quoziente tramite la suriezione [tex]$f: X \to Y$[/tex]. Dimostrare che:
a) [tex]$Y$[/tex] è di Hausdorff se e solo se f è chiusa.
b) [tex]$Y$[/tex] è di Hausdorff se e solo se l'insieme [tex]$U=\{(x_1,x_2) \in X \times X |f(x_1)=f(x_2)\}$[/tex] è chiuso.
Allora, ovviamente la funzione è continua. Il primo punto non ho avuto problemi a dimostrarlo. Per quanto riguarda la seconda richiesta, ho dimostrato abbastanza facilmente che [tex]$Y$[/tex] di Hausdorff implica quella condizione.
L'implicazione inversa mi ha bloccato. In realtà l'implicazione l'ho dimostrata usando solo l'ipotesi di continuità, quindi suppongo che le altre ipotesi servano tutte all'implicazione inversa
In ogni caso, mi ero proposto due strade diverse:
-Dimostrare che, se quell'insieme è chiuso, allora f è chiusa; a questo punto potrei usare il primo punto per concludere la dimostrazione;
-Dimostrare che la diagonale di [tex]$Y\timesY$[/tex] è chiusa, il che è una condizione necessaria e sufficiente perché uno spazio topologico sia di Hausdorff;
Ho provato a percorrerle entrambe ma non sono riuscito a concludere nulla.
Altrimenti, c'è un altra proprietà che ho dimostrato: se f è continua, suriettiva e aperta, allora [tex]$Y$[/tex] è di Hausdorff se e solo se $U$ (lo stesso insieme di prima) è chiuso (e questa vale fra due spazi topologici in generale, indipendentemente dalla compattezza e dal fatto che $X$ sia di Hausdorff, o dal quoziente). Non so se questa potrebbe essere una terza via.
Perché ho l'impressione che mi stia sfuggendo qualche cavolata? Ad esempio qualche proprietà sulle applicazioni quoziente? Mi ricordo che c'era un teorema sull'apertura o chiusura dell'applicazione quoziente, ma non riesco a ritrovarlo.
EDIT: E' vera la seguente proprietà? Un'applicazione quoziente è aperta oppure chiusa. Se fosse così, avrei concluso.
a) [tex]$Y$[/tex] è di Hausdorff se e solo se f è chiusa.
b) [tex]$Y$[/tex] è di Hausdorff se e solo se l'insieme [tex]$U=\{(x_1,x_2) \in X \times X |f(x_1)=f(x_2)\}$[/tex] è chiuso.
Allora, ovviamente la funzione è continua. Il primo punto non ho avuto problemi a dimostrarlo. Per quanto riguarda la seconda richiesta, ho dimostrato abbastanza facilmente che [tex]$Y$[/tex] di Hausdorff implica quella condizione.
L'implicazione inversa mi ha bloccato. In realtà l'implicazione l'ho dimostrata usando solo l'ipotesi di continuità, quindi suppongo che le altre ipotesi servano tutte all'implicazione inversa
In ogni caso, mi ero proposto due strade diverse:
-Dimostrare che, se quell'insieme è chiuso, allora f è chiusa; a questo punto potrei usare il primo punto per concludere la dimostrazione;
-Dimostrare che la diagonale di [tex]$Y\timesY$[/tex] è chiusa, il che è una condizione necessaria e sufficiente perché uno spazio topologico sia di Hausdorff;
Ho provato a percorrerle entrambe ma non sono riuscito a concludere nulla.
Altrimenti, c'è un altra proprietà che ho dimostrato: se f è continua, suriettiva e aperta, allora [tex]$Y$[/tex] è di Hausdorff se e solo se $U$ (lo stesso insieme di prima) è chiuso (e questa vale fra due spazi topologici in generale, indipendentemente dalla compattezza e dal fatto che $X$ sia di Hausdorff, o dal quoziente). Non so se questa potrebbe essere una terza via.
Perché ho l'impressione che mi stia sfuggendo qualche cavolata? Ad esempio qualche proprietà sulle applicazioni quoziente? Mi ricordo che c'era un teorema sull'apertura o chiusura dell'applicazione quoziente, ma non riesco a ritrovarlo.
EDIT: E' vera la seguente proprietà? Un'applicazione quoziente è aperta oppure chiusa. Se fosse così, avrei concluso.
Risposte
Un'applicazione quoziente è aperta oppure chiusaNo. Purtroppo è falso. Fattene una ragione.
Me ne farò una ragione
Hai qualche hint su come poter procedere nella dimostrazione? Praticamente la dimostrazione è conclusa nel caso in cui f sia aperta o chiusa. Ma se non è né aperta né chiusa devo dimostrarlo con altri mezzi.
Il fatto è che ragionando a posteriori, sapendo di dover provare che lo spazio è di Hausdorff, l'applicazione dev'essere per forza chiusa per il punto a). Allora, mi verrebbe da indirizzarmi sulla prima strada, cioè dimostrare che, se quell'insieme è chiuso, f è chiusa; o alternativamente, escludere tramite altri mezzi che f non sia né aperta né chiusa; ma non mi viene in mente come procedere.
Hai qualche hint su come poter procedere nella dimostrazione? Praticamente la dimostrazione è conclusa nel caso in cui f sia aperta o chiusa. Ma se non è né aperta né chiusa devo dimostrarlo con altri mezzi.
Il fatto è che ragionando a posteriori, sapendo di dover provare che lo spazio è di Hausdorff, l'applicazione dev'essere per forza chiusa per il punto a). Allora, mi verrebbe da indirizzarmi sulla prima strada, cioè dimostrare che, se quell'insieme è chiuso, f è chiusa; o alternativamente, escludere tramite altri mezzi che f non sia né aperta né chiusa; ma non mi viene in mente come procedere.
Mah ti dirò, non saprei. $U$ è compatto però, te ne eri accorto? Forse sfruttando questo fatto...
"Antimius":
Ad esempio qualche proprietà sulle applicazioni quoziente? Mi ricordo che c'era un teorema sull'apertura o chiusura dell'applicazione quoziente, ma non riesco a ritrovarlo.
EDIT: E' vera la seguente proprietà? Un'applicazione quoziente è aperta oppure chiusa.
Il teorema che ricordi dice questo: se un'applicazione tra due spazi topologici è continua suriettiva e chiusa (o equivalentemente aperta) allora è un'applicazione quoziente.
Grazie a entrambi. Vedo se riesco a finirla.
Guarda ci sto pensando pure io da stamattina, anche perché preparando l'esame mi viene utile , non sono riuscito ancora a cavarci niente di utile, ma magari osservare che $X$ è $T_4$ ed in particolare che ogni suo punto ammette un sistema fondamentale di intorni compatto potrebbe tornarti utile.
, non sono riuscito ancora a cavarci niente di utile, ma magari osservare che $X$ è $T_4$ ed in particolare che ogni suo punto ammette un sistema fondamentale di intorni compatto potrebbe tornarti utile.
@Paolo90: Ho letto nel topic che mi hai linkato che tu dici che quel criterio funziona sono per applicazioni aperte. Quindi, in sostanza, io sto tentando di dimostrare l'impossibile?
Magari sul mio libro si sono dimenticati qualche ipotesi?
Ho pure tentato di trovare un controesempio ma non ci sono riuscito.
In ogni caso, per la dimostrazione mi sono fermato a un certo punto.
(Se f è iniettiva, non c'è niente da dimostrare perché [tex]$U$[/tex] coincide con la diagonale di [tex]$X\times X$[/tex] che è chiusa perché [tex]$X$[/tex] è di Hausdorff; lo metto tra parentesi perché non so quanto sia utile)
[tex]$w=(x,y) \in V=X\times X-U$[/tex]. Poiché [tex]$V$[/tex] è aperto, [tex]$\exists U_w, V_w$[/tex] aperti in [tex]$X$[/tex] t.c. [tex]$w \in U_w \times V_w \subseteq V$[/tex].
Allora, [tex]$f(x) \neq f(y)$[/tex] e [tex]$f(x) \in f(U_w)$[/tex], [tex]$f(y) \in f(V_w)$[/tex] ovviamente. Poiché la funzione è suriettiva, basta che mostro che esistono due aperti disgiunti contenti [tex]$f(x)$[/tex], [tex]$f(y)$[/tex], tanto ogni punto di [tex]$Y$[/tex] sarà immagine di almeno un punto di [tex]$X$[/tex].
Ovviamente [tex]$f(U_w) \cap f(V_w)= \emptyset$[/tex] perché [tex]$U_w \times V_w \cap U = \emptyset$[/tex].
Dovrei mostrare che essi sono aperti. Poiché f è un'identificazione, [tex]$f(U_w)$[/tex] è aperto se e solo se [tex]$f^{-1}(f(U_w))$[/tex] è aperto (analogamente per l'altro), ma qui mi fermo.
Se [tex]$U_w$[/tex] fosse saturo non ci sarebbero problemi, ma insomma non vedo perché dovrebbe esserlo, quindi mi sa che mi sto arrampicando sugli specchi. A meno che non c'è qualche relazione che non conosco fra la saturazione dei sottoinsiemi di uno spazio e la compattezza dello spazio (in questo caso [tex]$X$[/tex] è compatto). Tra l'altro non ho ancora utilizzato nemmeno l'ipotesi che [tex]$X$[/tex] sia di Hausdorff.
Magari sul mio libro si sono dimenticati qualche ipotesi?
Ho pure tentato di trovare un controesempio ma non ci sono riuscito.
In ogni caso, per la dimostrazione mi sono fermato a un certo punto.
(Se f è iniettiva, non c'è niente da dimostrare perché [tex]$U$[/tex] coincide con la diagonale di [tex]$X\times X$[/tex] che è chiusa perché [tex]$X$[/tex] è di Hausdorff; lo metto tra parentesi perché non so quanto sia utile)
[tex]$w=(x,y) \in V=X\times X-U$[/tex]. Poiché [tex]$V$[/tex] è aperto, [tex]$\exists U_w, V_w$[/tex] aperti in [tex]$X$[/tex] t.c. [tex]$w \in U_w \times V_w \subseteq V$[/tex].
Allora, [tex]$f(x) \neq f(y)$[/tex] e [tex]$f(x) \in f(U_w)$[/tex], [tex]$f(y) \in f(V_w)$[/tex] ovviamente. Poiché la funzione è suriettiva, basta che mostro che esistono due aperti disgiunti contenti [tex]$f(x)$[/tex], [tex]$f(y)$[/tex], tanto ogni punto di [tex]$Y$[/tex] sarà immagine di almeno un punto di [tex]$X$[/tex].
Ovviamente [tex]$f(U_w) \cap f(V_w)= \emptyset$[/tex] perché [tex]$U_w \times V_w \cap U = \emptyset$[/tex].
Dovrei mostrare che essi sono aperti. Poiché f è un'identificazione, [tex]$f(U_w)$[/tex] è aperto se e solo se [tex]$f^{-1}(f(U_w))$[/tex] è aperto (analogamente per l'altro), ma qui mi fermo.
Se [tex]$U_w$[/tex] fosse saturo non ci sarebbero problemi, ma insomma non vedo perché dovrebbe esserlo, quindi mi sa che mi sto arrampicando sugli specchi. A meno che non c'è qualche relazione che non conosco fra la saturazione dei sottoinsiemi di uno spazio e la compattezza dello spazio (in questo caso [tex]$X$[/tex] è compatto). Tra l'altro non ho ancora utilizzato nemmeno l'ipotesi che [tex]$X$[/tex] sia di Hausdorff.
Notando che [tex]$Y$[/tex] è compatto, in quanto spazio quoziente di un compatto, non ti si accende nessuna lampadina? 
Ah, ehm, no :S
Ma dovrei continuare dal punto dove mi sono fermato? O ricominciare?
Ma dovrei continuare dal punto dove mi sono fermato? O ricominciare?
Questo esercizio si risolve rapidamente notando che:
a.I) sia [tex]$Y$[/tex] di Hausdorff allora [tex]$f$[/tex] è un'applicazione propria, in particolare chiusa;
a.II) sia [tex]$f$[/tex] chiusa, le immagini dei chiusi di [tex]$X$[/tex] sono chiusi di [tex]$Y$[/tex], in particolare i punti di [tex]$Y$[/tex] sono chiusi e quindi [tex]$Y$[/tex] è uno spazio [tex]$T_1$[/tex] o di Fréchet. Le anti-immagini mediante [tex]$f$[/tex] dei punti di [tex]$Y$[/tex] sono sottoinsiemi chiusi di [tex]$X$[/tex], quindi sono compatti ed [tex]$f$[/tex] è un'applicazione propria. Ancora, essendo [tex]$f$[/tex] chiusa allora [tex]$\forall P;Q\in Y;\,A_P;A_Q\subseteq X\mathrm{\,aperti}:f^{-1}(P)\subseteq A_P,\,f^{-1}(Q)\subseteq A_Q,\,\exists I_P;I_Q\subseteq Y\mathrm{\,intorni\,aperti}\mid f^{-1}(I_P)\subseteq A_P;\,f^{-1}(I_Q)\subseteq A_Q$[/tex].
Avendo dimostrato che [tex]$f$[/tex] è propria allora [tex]$f^{-1}(P)$[/tex] ed [tex]$f^{-1}(Q)$[/tex] sono sottoinsiemi compatti di [tex]$X$[/tex], essendo [tex]$X$[/tex] normale o [tex]$T_4$[/tex] si possono scegliere [tex]$\emptyset=A_P\cap A_Q\supseteq f^{-1}(I_P)\cap f^{-1}(I_Q)=f^{-1}(I_P\cap I_Q)\Rightarrow I_P\cap I_Q=\emptyset$[/tex], in quanto [tex]$f$[/tex] è suriettiva, ed ottieni che [tex]$Y$[/tex] è uno spazio di Hausdorff;
b) Non ho capito la definizione di [tex]$U$[/tex] in quanto c'è un errore di definizione.
Tutte le proprietà che ho utilizzato le trovi sul libro di topologia di Tallini!
a.I) sia [tex]$Y$[/tex] di Hausdorff allora [tex]$f$[/tex] è un'applicazione propria, in particolare chiusa;
a.II) sia [tex]$f$[/tex] chiusa, le immagini dei chiusi di [tex]$X$[/tex] sono chiusi di [tex]$Y$[/tex], in particolare i punti di [tex]$Y$[/tex] sono chiusi e quindi [tex]$Y$[/tex] è uno spazio [tex]$T_1$[/tex] o di Fréchet. Le anti-immagini mediante [tex]$f$[/tex] dei punti di [tex]$Y$[/tex] sono sottoinsiemi chiusi di [tex]$X$[/tex], quindi sono compatti ed [tex]$f$[/tex] è un'applicazione propria. Ancora, essendo [tex]$f$[/tex] chiusa allora [tex]$\forall P;Q\in Y;\,A_P;A_Q\subseteq X\mathrm{\,aperti}:f^{-1}(P)\subseteq A_P,\,f^{-1}(Q)\subseteq A_Q,\,\exists I_P;I_Q\subseteq Y\mathrm{\,intorni\,aperti}\mid f^{-1}(I_P)\subseteq A_P;\,f^{-1}(I_Q)\subseteq A_Q$[/tex].
Avendo dimostrato che [tex]$f$[/tex] è propria allora [tex]$f^{-1}(P)$[/tex] ed [tex]$f^{-1}(Q)$[/tex] sono sottoinsiemi compatti di [tex]$X$[/tex], essendo [tex]$X$[/tex] normale o [tex]$T_4$[/tex] si possono scegliere [tex]$\emptyset=A_P\cap A_Q\supseteq f^{-1}(I_P)\cap f^{-1}(I_Q)=f^{-1}(I_P\cap I_Q)\Rightarrow I_P\cap I_Q=\emptyset$[/tex], in quanto [tex]$f$[/tex] è suriettiva, ed ottieni che [tex]$Y$[/tex] è uno spazio di Hausdorff;
b) Non ho capito la definizione di [tex]$U$[/tex] in quanto c'è un errore di definizione.
Tutte le proprietà che ho utilizzato le trovi sul libro di topologia di Tallini!
Scusami, non avevo capito che ti riferissi al punto a. In realtà, quello sono riuscito a dimostrarlo e anche parte del b (ho corretto l'errore nella definizione dell'insieme). L'ho scritto lo stesso perché più avanti lo cito.
In ogni caso, grazie! Non appena mi sarò visto le applicazioni proprie, mi guarderò questa dimostrazione, che è anche più breve rispetto alla mia.
Per quanto riguarda il punto b, l'implicazione che mi ha bloccato è quella [tex]$U \text{ chiuso} \, \Rightarrow \, Y \text{ è T2}$[/tex].
In ogni caso, grazie! Non appena mi sarò visto le applicazioni proprie, mi guarderò questa dimostrazione, che è anche più breve rispetto alla mia.
Per quanto riguarda il punto b, l'implicazione che mi ha bloccato è quella [tex]$U \text{ chiuso} \, \Rightarrow \, Y \text{ è T2}$[/tex].
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