Classificazione quadriche e riduzione a forma canonica
Esercizio 1.
Si classifichi la quadrica
$Q : 2x2 + y2 + z2 -2yz -4y + 3z + 1 = 0$
determinandone una riduzione e la forma canonica ottenuta tramite tale riduzione
Esercizio 2.
Si consideri la quadrica
$Q : 2xy + 2xz + 2yz + 4x + 1 = 0$
1) Si classifichi Q determinandone una riduzione e la forma canonica ottenuta tramite tale
riduzione.
[mod="Alexp"]
Ho correto le formule!
[/mod]
Si classifichi la quadrica
$Q : 2x2 + y2 + z2 -2yz -4y + 3z + 1 = 0$
determinandone una riduzione e la forma canonica ottenuta tramite tale riduzione
Esercizio 2.
Si consideri la quadrica
$Q : 2xy + 2xz + 2yz + 4x + 1 = 0$
1) Si classifichi Q determinandone una riduzione e la forma canonica ottenuta tramite tale
riduzione.
[mod="Alexp"]
Ho correto le formule!
[/mod]
Risposte
Hai qualche idea?
Credo che avrai studiato in teoria come si classifica una quadrica...Classificare una quadrica è un esercizio abbastanza "standard": come si procede?
Accenna a qualche tuo tentativo di soluzione o spiega in che punto ti blocchi.
Credo che avrai studiato in teoria come si classifica una quadrica...Classificare una quadrica è un esercizio abbastanza "standard": come si procede?
Accenna a qualche tuo tentativo di soluzione o spiega in che punto ti blocchi.
@Engineer in progress, devi imparare a scrivere le formule in modo corretto! se non sai come si fa guarda in questo link
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
....mi raccomando, è importante per permettere la corretta consultazione dei thread!
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
....mi raccomando, è importante per permettere la corretta consultazione dei thread!
Prima di tutto mi scuso con voi perchè non ho specificato adeguatamente qual'era il mio dubbio riguardo agli esercizi da me pubblicati ... 
@ cirasa: bè si ! Sono riuscito a classificare la quadrica: $2*x^2+y^2+z^2-2yz-4y+3z+1=0$ e sono giunto alla conclusione che è un paraboloide ellittico. Dopodichè però non sono più in grado di ricondurre la quadrica alla sua forma canonica ! O meglio conosco il procedimento (in quanto l'ho studiato), ma non sono in grado di applicarlo.
Mi sono ricavato gli autovalori dalla sottomatrice 3x3 e ho ottenuto che sono $\lamda$=2;4
Da questo punto in poi non sono in grado di andare avanti. Poi (in teoria) mi dovrei calcolare gli autovettori (ma non ne sono capace) che mi andranno a formare la mia matrice ortogonale per la rotazione della quadrica; successivamente potrà essere necessaria o meno la traslazione (a seconda del tipo di conica).
Stesso problema nell'esercizio n°2 !
@ Alexp: grazie, ma come ho già detto sopra sono nuovo del forum e stavo appunto cercando il link che mi hai suggerito !
@ cirasa: bè si ! Sono riuscito a classificare la quadrica: $2*x^2+y^2+z^2-2yz-4y+3z+1=0$ e sono giunto alla conclusione che è un paraboloide ellittico. Dopodichè però non sono più in grado di ricondurre la quadrica alla sua forma canonica ! O meglio conosco il procedimento (in quanto l'ho studiato), ma non sono in grado di applicarlo.
Mi sono ricavato gli autovalori dalla sottomatrice 3x3 e ho ottenuto che sono $\lamda$=2;4
Da questo punto in poi non sono in grado di andare avanti. Poi (in teoria) mi dovrei calcolare gli autovettori (ma non ne sono capace) che mi andranno a formare la mia matrice ortogonale per la rotazione della quadrica; successivamente potrà essere necessaria o meno la traslazione (a seconda del tipo di conica).
Stesso problema nell'esercizio n°2 !
@ Alexp: grazie, ma come ho già detto sopra sono nuovo del forum e stavo appunto cercando il link che mi hai suggerito !
Ciao "Engineer in progress". Scusa se ti ho fatto attendere un po' per la risposta, ma oggi ho avuto da fare...
Dunque, veniamo a noi. Correggimi se sbaglio, perchè sono un po' arrugginito.
La prima quadrica, come giustamente dici tu, è un paraboloide ellittico.
La matrice $4\times 4$ associata è
$A=((2,0,0,0),(0,1,-1,-2),(0,-1,1,3/2),(0,-2,3/2,1))$
La matrice $3\times 3$ dei termini di secondo grado (o meglio la matrice della conica intersezione della quadrica con il piano improprio) è
$A_0=((2,0,0),(0,1,-1),(0,-1,1))$
Quindi si calcolano gli autovalori di $A_0$, ricordo bene?
Ebbene gli autovalori di questa matrice non sono $\lambda=2,4$. Forse avrai sbagliato qualche conto, perchè questa matrice ha autovalori $\lambda_1=0$ e $\lambda_2=2$.
Prova a ricontrollare...
Attendiamo qualche conferma/smentita e dopo proviamo a calcolare anche gli autospazi relativi a questi autovalori. Che ne dici?
Dunque, veniamo a noi. Correggimi se sbaglio, perchè sono un po' arrugginito.
La prima quadrica, come giustamente dici tu, è un paraboloide ellittico.
La matrice $4\times 4$ associata è
$A=((2,0,0,0),(0,1,-1,-2),(0,-1,1,3/2),(0,-2,3/2,1))$
La matrice $3\times 3$ dei termini di secondo grado (o meglio la matrice della conica intersezione della quadrica con il piano improprio) è
$A_0=((2,0,0),(0,1,-1),(0,-1,1))$
Quindi si calcolano gli autovalori di $A_0$, ricordo bene?
Ebbene gli autovalori di questa matrice non sono $\lambda=2,4$. Forse avrai sbagliato qualche conto, perchè questa matrice ha autovalori $\lambda_1=0$ e $\lambda_2=2$.
Prova a ricontrollare...
Attendiamo qualche conferma/smentita e dopo proviamo a calcolare anche gli autospazi relativi a questi autovalori. Che ne dici?
sto preparando l'esame di geometria e algebra lineare e ho provato a fare queste due quadriche come esercizio, però a me risultano la prima un paraboloide iperbolico e la seconda un iperboloide ellittico. Credo di aver fatto il procedimento corretto anche perchè ho seguito il libro passo per passo, e non capisco come mai a voi la prima risulta un paraboloide ellittico! Ho notato che la matrice A che ha postato cirasa è diversa dalla mia infatti a me viene A=((1,0,-2,3/2),(0,2,0,0),(-2,0,1,-1),(3/2,0,-1,1)) in quanto secondo il mio libro la matrice si costruisce mettendo sulla diagonale principale tutti i coefficienti dei termini di secondo grado più il termine noto nella posizione 00, la prima riga si completa con i coefficenti divisi per 2 dei termini con una sola variabile (risp x,y,z) la seconda riga si completa con i coefficienti divisi per 2 di xy e xz ed infine la terza con il coefficiente diviso per due del termine yz, essendo la matrice simmettrica basta riportare i coefficienti nella parte sotto alla diagonale principale per completarla. Qualcuno sa dirmi se ho sbagliato qualcosa?
"Engineer in progress":
Prima di tutto mi scuso con voi perchè non ho specificato adeguatamente qual'era il mio dubbio riguardo agli esercizi da me pubblicati ...
@ cirasa: bè si ! Sono riuscito a classificare la quadrica: $2*x^2+y^2+z^2-2yz-4y+3z+1=0$ e sono giunto alla conclusione che è un paraboloide ellittico. Dopodichè però non sono più in grado di ricondurre la quadrica alla sua forma canonica ! O meglio conosco il procedimento (in quanto l'ho studiato), ma non sono in grado di applicarlo.
Mi sono ricavato gli autovalori dalla sottomatrice 3x3 e ho ottenuto che sono $\lamda$=2;4
Da questo punto in poi non sono in grado di andare avanti. Poi (in teoria) mi dovrei calcolare gli autovettori (ma non ne sono capace) che mi andranno a formare la mia matrice ortogonale per la rotazione della quadrica; successivamente potrà essere necessaria o meno la traslazione (a seconda del tipo di conica).
Stesso problema nell'esercizio n°2 !
@ Alexp: grazie, ma come ho già detto sopra sono nuovo del forum e stavo appunto cercando il link che mi hai suggerito !
Con metodi meno ortodossi....
$2x^2+y^2+z^2-2yz-4y+3z+1=0$
$2x^2+y^2-2yz+z^2-4y+3z+1=0$
$2x^2+(y-z)^2-4y+3z+1=0$
$2x^2+(y-z)^2-3.5y+3.5z-0.5y-0.5z+1=0$
$2x^2+(y-z)^2-3.5(y-z)-0.5(y+z)+1=0$
quindi introduco due variabili (che sarebbero una rotazione di $-\pi/4$
$ u = (x-y)/sqrt2 $
$ v = (x+y)/sqrt2 $
$2x^2+2u^2-3.5\sqrt2(u)-0.5sqrt2(v)+1=0$
$2x^2+(usqrt2-7/4)^2-0.5sqrt2(v)+1=49/16$
$2x^2+(usqrt2-7/4)^2=49/16-1+0.5sqrt2(v)$
$2x^2+2(u-7/(4\sqrt2))^2=33/16+0.5sqrt2(v)$
che corrisponde a un paraboloide circolare con centro
$ x =0, u=7/(4\sqrt2), v = -(7/(4\sqrt2)+33/16)sqrt2 $
rivolto verso l'alto
della forma canonica
$ x^2 + y^2 = z $
Vi torna ?
Salvo errori . Saluti
"domme19":
però a me risultano la prima un paraboloide iperbolico
è assolutamente ellittico..sbagli nel scrivere la matrice perchè quella di cirasa è giusta. Comunque per quanto riguarda la forma canonica Quinzio ti consiglio di vedere il metodo degli invarianti molto utile e che semplifica i calcoli. Ti servono infatti solo gli autovalori e l'invarianza del determinante della matrice completa dopo di che ottieni la forma canonica. La tua è giusta ma mi sa che manca un $sqrt(2)$ prima di z ad occhio. Non vorrei dire fesserie.
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