Classificazione quadriche

[aram1]

Buongiorno, svolgendo la classificazione della quadrica f(x,y)= $frac{x^2-y^2+6}{6y}-x-1 $ mi confermate che si procede così?:
Pongo f(x,y)=z, calcolo il determinante della matrice M 4x4 associata alla quadrica e il complemento algebrico dell'elemento di posto 4,4. Dai calcoli ho trovato det (M)=-54 e A44=-9. Ora, per stabilire se si tratta di ellissoide o iperboloide ellittico devo calcolare gli autovalori della matrice 3x3 A44, ma arrivo a trovare un polinomio di terzo grado di cui non riesco a determinare le radici. Tale polinomio, che per comodità scrivo nella variabile t, a me risulta essere -t^3+19t-9. Qualcuno può aiutarmi?

[coffee2]

$\chi(t)=-t^3+19t-9$ è corretto. $\chi$ è un polinomio di terzo grado con tre zeri reali $t_1\leq t_2\leq t_3$, di cui sicuramente $t_1<0$. Per il teorema di Rolle, insieme al fatto che derivare un polinomio abbassa di 1 la molteplicità dei suoi zeri, $\chi'$ ha certamente due zeri reali $t_4\leq t_5$ interallacciati a quelli di $\chi$, cioè $t_1\leq t_4\leq t_2\leq t_5\leq t_3$.
Dato che $t_5=\sqrt{19/3}>0$, hai $t_3>0$. Quindi $\chi$ ha uno zero negativo e due positivi e la tua quadrica è un iperboloide

[aram1]

Grazie mille

[aram1]

Ho solo un dubbio però: come si deduce che il polinomio caratteristico di terzo grado ammette tre radici reali e non una reale negativa e due complesse?

[coffee2]

Perché i suoi zeri sono gli autovalori di una matrice reale simmetrica, che può avere solo autovalori reali.