Classificazione Quadrica

[Ankick222]

Salve, mi sto preparando per l'esame di geometria ed algebra lineare e sto facendo affidamento all'eserciziario consigliato. Mi sono imbattuto in un esercizio dove viene richiesto di trovare un cono avente come direttrice la sfera di equazione $ x^2 + y^2+z^2 = 1 $ intersecata con il piano $z=0$ e vertice $ V(0,0,2) $. Il dubbio sorge quando vado a vedere la soluzione proposta dal libro dove indica che la quadrica cercata ha equazione $ x^2 + y^2 - 1/4 z^2 +z -1=0 $. Questa è la parte che non riesco a comprendere in quanto, vedendo graficamente il risultato, risulta tutto regolare e effettivamente sembra un cono, ma provando a classificare la conica risulta che il rango della matrice associata sia $r(A)=4$ in quanto il $Det(A)=1/4$. Procedendo coi conti poi mi risulta alla fine che sia un iperboloide ellittico, e a questo punto non riesco a capire dove sia l'errore (sicuramente mio). Grazie eventualmente per le risposte.

[Quinzio]

Prima di classificare la quadrica in base alla matrice, la matrice va diagonalizzata.
Almeno, mi ricordo cosi', ma e' passato diverso tempo da quando ho fatto questi argomenti.