Classificazione punti semplici di un curva algebrica piana
In una curva algebrica piana dopo che ho trovato i suoi punti singolari come faccio a dire se sono doppi,tripli,quadrupli ecc?!?!
Ad esempio nella sestica $4x^6+24x^5+36x^4+y^6-12y^5+48y^4-64y^3=0$ ho trovato che i punti singolari sono 0(0,0) e A(0,4)...come faccio a dire se questi sono punti doppi,tripli,quadrupli ecc?! grazie
Ad esempio nella sestica $4x^6+24x^5+36x^4+y^6-12y^5+48y^4-64y^3=0$ ho trovato che i punti singolari sono 0(0,0) e A(0,4)...come faccio a dire se questi sono punti doppi,tripli,quadrupli ecc?! grazie
Risposte
Se la curva C è rappresentata dall'equazione \(\displaystyle f(x,y)=0 \), la condizione necessaria e sufficiente affinché la C presenti la molteplicità r nel punto \(\displaystyle P(x_o,y_o) \) è che in esso si annullino la \(\displaystyle f(x,y) \) e tutte le sue derivate parziali fino a quelle di ordine \(\displaystyle r-1 \) ma non tutte quelle di ordine \(\displaystyle r \) .
Nel tuo caso risulta :
\(\displaystyle \begin{cases}f_x=24x^5+120x^4+144x^3\\f_{xx}=120x^4+480x^3+432x^2\\f{xxx}=480x^3+1440x^2+864x\\f{xxxx}=1440x^2+2880x+864\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases}f_y=6y^5-60y^4+192y^3-192y^2\\f_{yy}=30y^4-240y^3+576y^2-384y\\f{yyy}=120y^3-720y^2+1152y-384\end{cases} \)
Come si vede, nel punto \(\displaystyle O(0,0) \) si annullano la f(x,y) e le derivate parziali fino all'ordine 2 ma non tutte quelle di ordine 3 e pertanto il punto \(\displaystyle O(0,0) \) è un punto triplo. A tale risultato si perviene più semplicemente, osservando che nell'equazione di C mancano i termini di grado inferiore a 3.
Per l'altro punto \(\displaystyle (0,4) \) puoi ragionare in modo analogo. Si tratta solo di fare calcoli numerici. A me pare che anche \(\displaystyle A(0,4) \) sia un punto triplo. Verifica tu.
Nel tuo caso risulta :
\(\displaystyle \begin{cases}f_x=24x^5+120x^4+144x^3\\f_{xx}=120x^4+480x^3+432x^2\\f{xxx}=480x^3+1440x^2+864x\\f{xxxx}=1440x^2+2880x+864\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases}f_y=6y^5-60y^4+192y^3-192y^2\\f_{yy}=30y^4-240y^3+576y^2-384y\\f{yyy}=120y^3-720y^2+1152y-384\end{cases} \)
Come si vede, nel punto \(\displaystyle O(0,0) \) si annullano la f(x,y) e le derivate parziali fino all'ordine 2 ma non tutte quelle di ordine 3 e pertanto il punto \(\displaystyle O(0,0) \) è un punto triplo. A tale risultato si perviene più semplicemente, osservando che nell'equazione di C mancano i termini di grado inferiore a 3.
Per l'altro punto \(\displaystyle (0,4) \) puoi ragionare in modo analogo. Si tratta solo di fare calcoli numerici. A me pare che anche \(\displaystyle A(0,4) \) sia un punto triplo. Verifica tu.
Grazie mille Meglio di cosi non si poteva spiegare!!! Ora pero mi sorge un altro dubbio...sempre prendendo come esempio quella curva e quei punti tripli come faccio a dire se ci sono nodi o cuspidi di 1' specie o altro?!...ad esempio prendendo il punto (0,4) trovo che le sue 3 tg principali sono y=-4 contata 3 volte quindi siamo in presenza di un punto cuspidale...adesso per vedere che tipo di cuspide e' vado a intersecare la mia tg con la curva o e' sbagliato?!...io sono abituato a lavorare con i punti doppi quindi non vorrei cambiasse qualcosa...in caso per avere una cuspide di prima specie quanto deve essere la mia molteplicità con la curva?? (perche per il punti doppi era 3) grazie
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