Classificazione di una quadrica

[Rhypireor]

Nello spazio , data l'equazione della quadrica Q

\(\displaystyle x^2-y^2-2z+1=0 \)

1) Stabilire se la quadrica è degenere o non degenere.
2) Stabilire se la quadrica è spezzata.
3) Nel caso in cui sia non degenere stabilirne il tipo.

Prima di tutto calcolo il determinante della matrice A :
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\\ 0 & -1 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \\\ 0 & 0 & -1 & 1\end{pmatrix}$$

\(\displaystyle det(A)=1 , R_K (A)=4 \)

poi passo alla matrice B

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\\ 0 & -1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

\(\displaystyle det(B)=0 , R_K (B)=2 \)

Da qui capisco che la quadrica non è degenere, e mi trovo davanti a un paraboloide iperbolico.
Tuttavia non riesco a capire come ricondurla in forma canonica, o meglio ho difficoltà a proseguire perchè ho fatto altri esempi e utilizzando il metodo del completamento dei quadrati riuscivo a cavarmela, mentre in questo caso il metodo del completamento dei quadrati mi sa che non è una buona idea.
Grazie in anticipo

[gugo82]

Guarda che la parte quadratica va benissimo.

Ponendo $X=x, Y=y, Z=2z-1$ ottieni $X^2 - Y^2 - Z = 0$.

[Rhypireor]

\( \displaystyle X=x ; Y=y ; Z=2z-1 \)

"gugo82":Guarda che la parte quadratica va benissimo.

Ponendo $X=x, Y=y, Z=2z-1$ ottieni $X^2 - Y^2 - Z = 0$.

Benissimo , e per quanto riguarda invece una quadrica di equazione \(\displaystyle x^2 + y^2 + -2z +1 \) mi trovo di fronte a un paraboloide ellittico visto \(\displaystyle det(A)=-1<0 , det(B)=0 \)

la sua forma canonica sarà:
\(\displaystyle X=x ; Y=y ; Z=2z-1 \)

da cui : \(\displaystyle X^2 + Y^2 - Z = 0 \)

Corretto ?

[gugo82]

E già…