Classificazione conica affine con spazio proiettivo
$Q: x^2+4y^2-6z^2-2x+8y-2=0$
Noto che è una quadrica non degenere.
Passo in coordinate proiettive e interseco con il piano $x_3=0$ ottengo una conica a sua volta non degenere e a punti reali. Quindi $Q$ è un iperboloide.
Iperbolico o ellittico?
qui è il problema: o lo vedo scritto nella forma $AB=CD$ (e non lo vedo), oppure prendo un punto che appartiene alla conica, ne prendo il piano tangente e lo interseco con la conica. Se sono due rette reali distinte allora la conica ha punti iperbolici (quindi è un iperboloide iperbolico), se invece sono due rette complesse coniugate allora è un iperboloide ellittico.
Questo è il procedimento teorico. Nei conti non riesco a capire:
_il piano tangente lo prendo nel proiettivo o nell'affine? (in generale in quale fase dello studio della conica mi devo mettere nel proiettivo?)
_non è poi così facile trovare quali sono queste rette dell'intersezione...
Noto che è una quadrica non degenere.
Passo in coordinate proiettive e interseco con il piano $x_3=0$ ottengo una conica a sua volta non degenere e a punti reali. Quindi $Q$ è un iperboloide.
Iperbolico o ellittico?
qui è il problema: o lo vedo scritto nella forma $AB=CD$ (e non lo vedo), oppure prendo un punto che appartiene alla conica, ne prendo il piano tangente e lo interseco con la conica. Se sono due rette reali distinte allora la conica ha punti iperbolici (quindi è un iperboloide iperbolico), se invece sono due rette complesse coniugate allora è un iperboloide ellittico.
Questo è il procedimento teorico. Nei conti non riesco a capire:
_il piano tangente lo prendo nel proiettivo o nell'affine? (in generale in quale fase dello studio della conica mi devo mettere nel proiettivo?)
_non è poi così facile trovare quali sono queste rette dell'intersezione...
Risposte
Io generalmente, nella classificazione, solo nel classificare la conica assoluto (cioè l'intersezione col piano polare $pi_infty$) utilizzo le coordinate proiettive.
Prenderei un punto della quadrica, calcolerei la conica, intersezione della quadrica con il piano polare del punto, e cercherei di vedere se si spezza in due rette reali o complesse coniugate, il tutto in coordinate affini!
Prenderei un punto della quadrica, calcolerei la conica, intersezione della quadrica con il piano polare del punto, e cercherei di vedere se si spezza in due rette reali o complesse coniugate, il tutto in coordinate affini!
io il piano polare l'ho definito solo in coordinate proiettive... e comunque il problema è sempre vedere l'intersezione come due rette...
Se mi dici il punto che hai scelto provo a farlo io!
nell'affine $(1+sqrt(3), 0, 0)$ nel proiettivo $[1+sqrt(3),0,0,1]$ (ma se ne trovi uno più semplice risolvi pure con il tuo...)
Escono dei conti lunghissimi ed io non sono bravo 
Appena ho due minuti li svolgo e ti dico!
Appena ho due minuti li svolgo e ti dico!
ma scusa solo una cosa: il piano tangente in affine come lo trovo?
Le coordinate che devi usare sono quelle proiettive (quindi $(1+sqrt(3),0,0,1)$), quando però riscrivi il piano, puoi liberarti dell'indeterminata $x_4$
Quindi il tuo piano polare sarà $(5+sqrt(3))x-y+2+4sqrt(3)=0$
Quindi il tuo piano polare sarà $(5+sqrt(3))x-y+2+4sqrt(3)=0$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo