Classificare le proiezioni su sp. quoziente (aperte/chiuse)
Non riesco a risolvere un certo tipo di esercizi, ma cominciamo con le definizioni... 
Siano $X, Y$ spazi topologici. Un'applicazione $f:X -> Y$ si dice aperta se per ogni sottoinsieme aperto $A\subX$ l'insieme $f(a)\subY$ è aperta. (rispettivamente chiusa se $A$ chiuso)
Ok! Se non conosco l'insieme $Y$ di arrivo come faccio a determinare se $f$ è aperta o chiusa? In particolare se l'insieme di arrivo fosse un insieme quoziente come devo ragionare? Vi faccio un esempio..
Su $RR$ consideriamo la relazione $p~q$se e solo se $p,q\inQQ$. Sia $\pi:RR->RR/QQ$ la proiezione, dire se è aperta e/o chiusa.
Oppure: Sia $R$ la relazione che identifica in $[-1,1]$ l'elemento $0$ con $1$ e viceversa, sia $\pi:[-1,1] -> [-1,1]/R$. Dire se la proiezione è aperta e/o chiusa.
Diciamo che ad intuito si capisce perchè sono aperte o chiuse o se non lo sono, ma come lo scrivo se non conosco come è fatto l'insieme quoziente?
Grazie!
Siano $X, Y$ spazi topologici. Un'applicazione $f:X -> Y$ si dice aperta se per ogni sottoinsieme aperto $A\subX$ l'insieme $f(a)\subY$ è aperta. (rispettivamente chiusa se $A$ chiuso)
Ok! Se non conosco l'insieme $Y$ di arrivo come faccio a determinare se $f$ è aperta o chiusa? In particolare se l'insieme di arrivo fosse un insieme quoziente come devo ragionare? Vi faccio un esempio..
Su $RR$ consideriamo la relazione $p~q$se e solo se $p,q\inQQ$. Sia $\pi:RR->RR/QQ$ la proiezione, dire se è aperta e/o chiusa.
Oppure: Sia $R$ la relazione che identifica in $[-1,1]$ l'elemento $0$ con $1$ e viceversa, sia $\pi:[-1,1] -> [-1,1]/R$. Dire se la proiezione è aperta e/o chiusa.
Diciamo che ad intuito si capisce perchè sono aperte o chiuse o se non lo sono, ma come lo scrivo se non conosco come è fatto l'insieme quoziente?
Grazie!
Risposte
Una considerazione che spero sia in thread: se non conosci lo spazio di arrivo come fai a definire la funzione?
L'applicazione proiezione è sempre ben definita 
(il fatto di non conoscere lo spazio di arrivo non è da intendersi letteralmente )
(il fatto di non conoscere lo spazio di arrivo non è da intendersi letteralmente
)
"iDesmond":
ma come lo scrivo se non conosco come è fatto l'insieme quoziente?
Dato uno spazio $X$ e una relazione di equivalenza $\mathcal{R}$ lo spazio quoziente è l'insieme $X$/$\mathcal{R}$ delle classi di equivalenza degli elementi di $X$ con la topologia deinita da
$A$ aperto in $X$/$\mathcal{R} <=> q^{-1}(A)$ aperto in $X$
essendo $q: X \rightarrow X$/$ \mathcal{R}$ la proiezione canonica definita da $q(x)= [x]_{\mathcal{R}}$
Se non conosci lo spazio di partenza $X$ oppure non conosci la relazione $\mathcal{R}$ allora non puoi dire nulla. Non mi sembra che $q$ sia aperta in generale (ma mi potrei sbagliare), ma di sicuro può esserlo in qualche caso. Dimostrarlo potrebbe essere più o meno difficile, dipende da quanto è "strano" lo spazio topologico di partenza. Questo è quel poco che mi ricordo. Ciao.
Sì, ho fatto dei progressi, e sono arrivato alla definizione che hai dato te... cioè di quali sono gli aperti di uno spazio quoziente. Mi risulta ancora un po' difficile capire come è fatta la controimmagine di alcuni insiemi (conoscendo la relazione e lo spazio di partenza), ma sopratutto come essere rigorosi nel descriverla.
Ad esempio, nell'esercizio che ho postato:
Sia $R$ la relazione che identifica in $[-1,1]$ l'elemento $0$ con $1$ e viceversa, sia $\pi:[-1,1] -> [-1,1]/R$. Dire se la proiezione è aperta e/o chiusa.
La proiezione non è aperta perchè:
considero $(0,1]$ è un aperto di $[-1,1]$, ma $pi^(-1)(pi((0,1]))=[0,1]$ perché $0~1$. Dunque la controimmagine è un chiuso, dunque la proiezione non è aperta.
Solo che il passaggio con l'= mi rimane un po' difficile da scrivere formalmente, per questo non ne sono al 100% sicuro
Grazie comunque
Ad esempio, nell'esercizio che ho postato:
Sia $R$ la relazione che identifica in $[-1,1]$ l'elemento $0$ con $1$ e viceversa, sia $\pi:[-1,1] -> [-1,1]/R$. Dire se la proiezione è aperta e/o chiusa.
La proiezione non è aperta perchè:
considero $(0,1]$ è un aperto di $[-1,1]$, ma $pi^(-1)(pi((0,1]))=[0,1]$ perché $0~1$. Dunque la controimmagine è un chiuso, dunque la proiezione non è aperta.
Solo che il passaggio con l'= mi rimane un po' difficile da scrivere formalmente, per questo non ne sono al 100% sicuro
Grazie comunque
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