Classi ortogonali di gruppi (abeliani) \(\Rightarrow Map(H,K)\simeq *\)

[killing_buddha]

Sia \(\mathcal{P}\) un sottoinsieme dei primi di \(\mathbb Z\); diciamo che un gruppo abeliano $G$ e' un \(\mathcal P\)-gruppo se ogni elemento di $G$ ha per ordine un numero (finito e) multiplo di elementi di \(\mathcal P\).

Consideriamo ora \(\mathcal P\subseteq\mathbb{P}\) e \(\mathcal Q := \mathcal {P}^\text{c}\subseteq \mathbb P\). Allora, i \(\mathcal P\)-gruppi e i \(\mathcal Q\)-gruppi sono classi ortogonali di gruppi: in altre parole (e piu' precisamente) le seguenti condizioni sono equivalenti per un gruppo abeliano $H$:

[*:30p3a0mq] $H$ e' un \(\mathcal Q\)-gruppo;[/*:m:30p3a0mq]
[*:30p3a0mq] \(\hom_{\bf Grp}(H,P) =0\) per ogni \(\mathcal P\)-gruppo $P$;[/*:m:30p3a0mq]
[*:30p3a0mq] \(\text{Map}(K(A,1), K(P,n)) \simeq *\) per ogni $A\subseteq H$ sottogruppo finito, $n\ge 1$ e $P$ un \(\mathcal P\)-gruppo;[/*:m:30p3a0mq]
[*:30p3a0mq] \(\text{Map}(K(H,1), K(P,n)) \simeq *\) per ogni $n\ge 1$ e $P$ un \(\mathcal P\)-gruppo;[/*:m:30p3a0mq]
[*:30p3a0mq] \(\text{Map}(K(H,m), K(P,n)) \simeq *\) per ogni $n,m$ e $P$ un \(\mathcal P\)-gruppo.[/*:m:30p3a0mq][/list:u:30p3a0mq]
dove in ciascuna delle tre voci, $\text{Map}$ indica lo spazio delle mappe tra due spazi, e per ogni $n\ge 1$ e $G$ gruppo (abeliano se $n\ge 2$), $K(G,n)$ e' lo spazio di Eilenberg - Mac Lane click.

[Pappappero1]

Stai cercando una dimostrazione di queste equivalenze?

Con $\ast$ indichi l'insieme che contiene solo la mappa costante? Con $Map$ intendi mappe a meno di omotopia?

Ho pochissima intuizione riguardo a questi spazi $K(G,n)$. Avresti qualche esempio piccolo per vedere piu' o meno cosa succede? (diciamo con $n=1$ o $2$ e $G$ facile, ad esempio ciclico - assumendo che ciclico voglia dire facile) - conosco gli spazi di Moore che a quel che capisco sono un po' la nozione corrispondente in omologia.

[killing_buddha]

L'hint piu' utile che posso darti e' che si fa essenzialmente nel modo che piace a me.

[Pappappero1]

Alla faccia dell'hint...e poi hint per cosa? Non c'e' una domanda nel primo post.

Comunque ho chiesto chiarimenti sulle notazioni. Per il resto non ho assolutamente le conoscenze per immaginare una dimostrazione delle equivalenze (eccetto tra la prima e la seconda, che e' teoria dei gruppi facile) e mi son limitato a chiedere qualche esempio concreto per capire di che si sta parlando.

[killing_buddha]

$Map$ denota l'insieme delle mappe continue tra i due spazi, topologizzato con la compatta-aperta.

L'unica cosa che ti serve sapere, formalmente, è che $\pi_n(-), K(-,n)$ sono funtori aggiunti, ovvero che esiste una biiezione (naturale in entrambi gli argomenti) tra le mappe di gruppi $\pi_n(X,x_0)\to G$ e le mappe continue (puntate) $X\to K(G,n)$. Non stai chiedendo cose particolari ad $H$ nel claim, anche se iniziare dal caso in cui $H$ è finito (quindi finitamente generato, capisci l'antifona) aiuta a capire cosa devi fare e di cosa ti serve assicurarti quando sei fuori di quell'ipotesi.

In generale, non pensare ti aiuti avere una costruzione esplicita per $K(G,n)$: solitamente non si può avere, perché la costruzione che forse hai visto nell'Hatcher per $K(G,1)$ che prende generatori e relazioni per $G$ e realizza un CW-complesso sulla base di essi non si generalizza immediatamente (o meglio, è difficile capire subito di che costruzione quella sia ul caso 1-dimensionale).
E' anche estremamente complicato determinare con precisione l'insieme delle classi di omotopia di mappe $K(G,n)\to K(H,m)$ per due gruppi $G,H$ e due interi nonnegativi $n,m$; questo problema equivale a determinare tutte le operazioni in coomologia di tipo $(G,H,n,m)$.

Quello che ti importa in esercizi come questo sono solo le proprietà formali dei $K(G,n)$, ovvero il fatto che sono spazi con un solo gruppo di omotopia non banale, il fatto che la successione $\{K(G,n)\}_n$ forma uno spettro (quello che classifica la coomologia singolare), oppure il fatto che, come ho detto prima, $K(-,n)$ essendo un aggiunto destro preserva i limiti (e i biprodotti, che in \(\bf Ab\) sono le somme dirette...)

[Pappappero1]

Come ti ho detto non avevo velleita' di dimostrare le equivalenze. Volevo solo capire se c'e' qualche costruzione bellina di questi $K(G,n)$ (cosi' come in effetti c'e' degli spazi di Moore).

[killing_buddha]

Certo, ce ne sono diverse, alcune molto concettuali, altre meno.
Non conosco nessuna realizzazione esplicita completamente autocontenuta dei $K(G,n)$ (la più semplice si appoggia su equivalenze di Quillen, l'ipotesi di omotopia, e l'equivalenza di Dold-Kan).
Il sospetto che esistano tali spazi ti viene quando studi le decomposizioni di Postnikov o Whitehead di un CW-complesso; si può infatti mostrare formalmente che ogni spazio $(X,x_0)$ viene fibrato da un $X_1$, la fibra di questa fibrazione (di Serre) è $K(\pi_2(X,x_0),2)$, e $X_1$ viene fibrato da $X_2$, e la fibra di questa fibrazione è $K(\pi_3, 3)$...

[Epimenide93]

"Pappappero":Volevo solo capire se c'e' qualche costruzione bellina di questi $K(G,n)$ (cosi' come in effetti c'e' degli spazi di Moore).

Quelle che conosco:

Per $n=1$ come diceva k_b c'è il giochino che puoi trovare su Hatcher, oppure la Bar construction, che trovo decisamente più divertente (prendi un gruppo $G$, guardalo al solito modo come una categoria con un solo oggetto, prendi la realizzazione geometrica del nervo di questa categoria ed hai un $K(G,1)$).

Per $n>1$, dato lo spazio di Moore $M(G,n)$ prendi una torre di Postnikov per quello spazio, e a livello $n$ ottieni un $K(G,n)$. (Se non ti convince prova a dimostrarlo.)

Un'altra costruzione divertente è la seguente: indichiamo con $B^n A$ il gruppo abeliano simpliciale i cui $k$-simplessi sono dati da \[(B^n A)_k = \frac{\Delta^n_k}{A[(\partial \Delta ^n )_k]}\] dove al denominatore trovi l'$A$-modulo libero generato dai $k$-simplessi di $\partial \Delta ^n$ (i morfismi sono indotti da quelli in \(\Delta ^n/ \partial \Delta ^n\)). La realizzazione geometrica di questo gruppo simpliciale è un $K(A,n)$ (la dimostrazione di questo fatto è un ottimo esercizio per prendere dimestichezza con questo tipo di armamentario).

[killing_buddha]

Questo è il modo in cui si generalizza la costruzione di Hatcher a dimensione più alta: dato un gruppo abeliano $G$, scriviamolo in una sequenza esatta corta
\[ \mathbb{Z}^{(A)} \to \mathbb{Z}^{(B)} \to G\] che lo presenta mediante generatori e relazioni. Ora vorremmo costruire uno spazio topologico $X$ tale che $\pi_n(X)\cong G$; per farlo, consideriamo \(X_0 = \bigvee_{a\in A}\mathbb{S}^n\) e notiamo che ogni relazione $r\in \mathbb{Z}^{(A)}$ è rappresentata da una classe di omotopia di mappa \(\varphi_b : \mathbb{S}^n \to \bigvee_{a\in A}\mathbb{S}^n\); scegliamo dunque una tale mappa per ogni $b\in B$ e consideriamo il pushout
\[\begin{array}{ccc}
\bigvee_{b\in B}\mathbb{S}^n & \to & \bigvee_{a\in A} \mathbb{S}^n \\
\downarrow &&\downarrow \\
\mathbb{D}^{n+1} &\to& X
\end{array}\] ottenuto da queste $\{\varphi_b\}$. Ora, è facile vedere che $\pi_i(X)\cong 0$ per $0 < i< n$ (l'$i$-esimo gruppo di omotopia è determinato dal solo $(i+1)$-scheletro); a questo punto la sequenza lunga nei gruppi di omotopia relativi della coppia $(X^{(n)}, X)$ ($X^{(n)}$ è l'$n$-scheletro di $X$) implica che $\pi_n(X)\cong G$. Il problema è che i gruppi di omotopia più alti sono in generale complicati in modo imprevedibile da questa procedura.
Per fortuna esistono i seguenti due killing lemma, che assicurano che tutta l'omotopia di $X$ si può "spegnere" da $n$ in poi:

Single killing lemma: Let $X$ be a pointed space, and $X_\alpha$ the space obtained adjoining a $(n+1)$-cell along $\alpha$. Then the inclusion $j : X\subseteq X_\alpha$ induces a map $j_* : \pi_k(X,x_0)\to \pi_k(X_\alpha, x_0)$ between homotopy groups which is an isomorphism for $k
Global killing lemma: Let $(X,x_0)$ be a pointed space. Then there exists a relative CW-complex $(X_{(n)},x_0)$ with an inclusion $i : X\subseteq X_{(n)}$ constructed by adding $(n+1)$-cells to $X$, such that $i_* : \pi_k(X,x_0)\to \pi_k(X_{(n)}, x_0)$ is bijective for $k

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