Classi di equivalenza

[5mrkv]

Dato lo spazio vettoriale $X$ ed un suo sottospazio $Y$ devo costruire lo spazio quoziente $Z=X \/ Y$ per ricavare $X$ come somma diretta di $Y$ e $Z$. Si considera la relazione d'equivalenza $x \sim x^{,} \Leftrightarrow x-x^{,} \in Y$ con $x, x^{,} \in X$. Provato che è una relazione di equivalenza, definisco $Z$ come l'insieme delle classi di equivalenza, $Z\: =\{x^{\sim}=[x]_{\sim}, x \in X \}$. Ma non capisco bene cosa da cosa sia effettivamente formata una classe di equivalenza. Da coppie di elementi che soddisfano l'equivalenza? Ogni coppia costituisce una classe?

[miuemia]

$Z$ è l'insieme delle classi di equivalenza non coppie!
Se $[x]$ è la classe di $x$, ovviamente in quella classe vi possono essere più elementi che vengono detti rappresentanti.
ad esempio lo spazio vettoriale $Y$ nel quoziente diventa la classe di $0$.

[5mrkv]

Quando un elemento fa parte di una classe?

[miuemia]

tutti gli elementi fanno parte di almeno una classe, perchè la relazione è di equivalenza! quindi ogni $x\in X$ è un elemento di qualche classe di equivalenza

[5mrkv]

Si ma qual è la definizione di questa classe di equivalenza? Me la vedo buttata li e non so cosa sia.

[miuemia]

l'hai scritta tu. la classe di equivalenza di $x$ è costituita da tutti gli $x^*$ tali che $x-x^* \in Y$.

[5mrkv]

Io l'ho scritto in simboli

definisco $Z$ come l'insieme delle classi di equivalenza, $Z\: =\{x^{\sim}=[x]_{\sim}, x \in X \}$

Se tu mi dici che la classe di equivalenza di un fissato $x \in X$ è l'isieme degli elementi $x^{,} \in X$ che sono equivalenti a $x$ rispetto alla definizione allora mi è chiaro. Ora, la classe di equivalenza può essere considerata come una applicazione lineare $\varphi ( x ) =[x]_{\sim}$ che associa a $x$ la sua classe di equivalenza, l'applicazione è lineare e suriettiva. Il lemma di Kuratowski-Zorn garantisce l'esistenza di una base, chiamiamola $\{ f_{\lambda}, \lambda \in \Gamma \}$ con $\Gamma$ l'insieme degli indici e $f_{\lambda}$ è una classe di equivalenza della base. Se prendo l'elemento $e_{\lambda} \in X$ rappresentativo della classe $f_{\lambda} \in Z$ attraverso la retroimmagine di $\varphi$, $e_{\lambda}=\varphi ^{-1}(f_{\lambda})$ allora i vettori e_{\lambda} devono essere linearmente indipendenti (non ho capito questo punto) poiché $sum_{\lambda} c_{\lambda} e_{\lambda} = 0 \Rightarrow sum_{\lambda} c_{\lambda} \varphi (e_{\lambda}) = 0 \Rightarrow sum_{\lambda} c_{\lambda} f_{\lambda} = 0$. Da dove viene la conclusione $sum_{\lambda} c_{\lambda} e_{\lambda} = 0 \Rightarrow sum_{\lambda} c_{\lambda} \varphi (e_{\lambda}) = 0$ ? Non dovrebbe scrivere $sum_{\lambda} c_{\lambda} e_{\lambda} = 0 \Rightarrow \varphi (sum_{\lambda} c_{\lambda} e_{\lambda}) = \varphi (0) \Rightarrow sum_{\lambda} \varphi ( c_{\lambda} e_{\lambda}) = \varphi (0) \Rightarrow sum_{\lambda} c_{\lambda} \varphi (e_{\lambda}) = \varphi (0) $? Come mai $\varphi (0)=0$ ?

O in altre parole. Perché attraverso le retroimmagini degli elementi della base di $Z=X \/ Y$ ottengo vettori linearmente indipendenti in $X$?



Edit: Nelle notazioni mi sono sbagliato (laddove nel testo si trovi l'errore) $Z \ne X \/ Y$, $Z$ è lo spazio generato dai vettori $e_{\lambda}$.

[miuemia]

lo classe di equivalenza di $0$ è banalmente la classe nulla!!! quindi è ovvio che $\varphi(0)=0$

Poi dovrebbe fare come dici tu ma evidentemente ha saltato dei passaggi e ha sott'inteso l'utilizzo della linearità di $\varphi$. tutto qui.

[5mrkv]

Ma perché la classe di equivalenza dello zero è la classe nulla? $0-x^{,} \in Y$ è soddisfatta $\forall x^{,} \in Y \subseteq X$. Infatti se $x^{,} \in Y \Rightarrow \exists -x^{,} \in Y$ dato che $Y$ è uno spazio vettoriale, quindi un gruppo additivo che contiene per ogni elemento il suo opposto.

[miuemia]

esatto!!!! ma quando tu fai la relazione di equivalenza.... cosa diventa il tuo zero nel quoziente? o meglio chi è lo zero in $X/Y$?????? è $Y$!!!!!!!

[5mrkv]

Allora $\varphi (0)=Y$ e non $\varphi (0)=0$.

[miuemia]

ma in $X/Y$ vale che $Y=0$ !!!!!!!!!

[5mrkv]

Ma quindi è la notazione che non ha senso! Dovrebbe scrivere perlomeno $sum_{\lambda} c_{\lambda} \varphi (e_{\lambda}) = [0]_{\sim} $. Con $Y= [0]_{\sim} != 0$.