Classi di equivalenza
ciao a tutti
la domanda che voglio chiedervi è questa:
una classe di equivalenza [a] e l'insieme degli elementi che sono in relazione di equivalenza con a,
ma anche a e in equivalenza con se stesso(per la riflessività),quindi in un esercizio bisogna sempre inserire
l'elemento "a"nell'insieme o e sottinteso. ad esempio se nella classe [(6,1)] non ci sono altri elementi in
equivalenza oltre a se stesso e giusto scrivere [(6,1)]={(6,1)} oppure non bisogna scrivere nulla
e non scrivere la classe nell'insieme quoziente?
grazie
la domanda che voglio chiedervi è questa:
una classe di equivalenza [a] e l'insieme degli elementi che sono in relazione di equivalenza con a,
ma anche a e in equivalenza con se stesso(per la riflessività),quindi in un esercizio bisogna sempre inserire
l'elemento "a"nell'insieme o e sottinteso. ad esempio se nella classe [(6,1)] non ci sono altri elementi in
equivalenza oltre a se stesso e giusto scrivere [(6,1)]={(6,1)} oppure non bisogna scrivere nulla
e non scrivere la classe nell'insieme quoziente?
grazie
Risposte
sì, essendo, come hai detto, l'insieme di quegli elementi equivalenti ad $a$, è corretto.
Non ci sono dubbi, una classe di equivalenza può essere composta da un solo elemento, quello che la individua.
beh,tecnicamente una classe di equivalenza è individuata da una relazione d'equivalenza.
l'elemento a è solo il rappresentante di una classe,quella formata dagli elementi in relazione con a.
se poi a è in relazione solo con se stesso allora non c'è niente di particolare,la classe avrà come elemento solo quello.
l'elemento a è solo il rappresentante di una classe,quella formata dagli elementi in relazione con a.
se poi a è in relazione solo con se stesso allora non c'è niente di particolare,la classe avrà come elemento solo quello.
il problema mi è sorto perchè in alcuni esercizi chiede l'insieme quoziente e di descrivere tutte le classi di equivalenza e quindi
alcune classi non hanno altri elementi in relazione di equivalenza oltre a se stessi e mi ponevo il dubbio
se inserire queste classi nell'insieme quoziente o no.
l'esempio che posso darvi è questo:
Posto S = {1, -1, 2}, si considerino in SXS = S^2 le seguenti relazioni:
(a, b) R (c, d) <-->a^2 + b^2 = c^2 + d^2;
Determinare l’insieme quoziente di S^2 rispetto alla relazione di
equivalenza R, specificando il numero delle classi distinte e gli elementi di
ognuna. In particolare, si dica se ci sono classi di ordine 1 o 2.
quindi secodo me e cosi:
[(1,1)] = {(-1,1),(1,-1),(-1,-1)}
[(2,1)] ={(2,-1),(1,2),(-1,2)}
[(2,2)] l'unico elemento e se stesso.
l'insieme quoziente è {[(2,2)],[(2,1)],[(1,1)] }. di ordine uno e solo [(2,2)], di ordine due non ci sono
secondo voi e giusto?
alcune classi non hanno altri elementi in relazione di equivalenza oltre a se stessi e mi ponevo il dubbio
se inserire queste classi nell'insieme quoziente o no.
l'esempio che posso darvi è questo:
Posto S = {1, -1, 2}, si considerino in SXS = S^2 le seguenti relazioni:
(a, b) R (c, d) <-->a^2 + b^2 = c^2 + d^2;
Determinare l’insieme quoziente di S^2 rispetto alla relazione di
equivalenza R, specificando il numero delle classi distinte e gli elementi di
ognuna. In particolare, si dica se ci sono classi di ordine 1 o 2.
quindi secodo me e cosi:
[(1,1)] = {(-1,1),(1,-1),(-1,-1)}
[(2,1)] ={(2,-1),(1,2),(-1,2)}
[(2,2)] l'unico elemento e se stesso.
l'insieme quoziente è {[(2,2)],[(2,1)],[(1,1)] }. di ordine uno e solo [(2,2)], di ordine due non ci sono
secondo voi e giusto?
in ogni insieme devi inserire però sempre anche il rappresentante
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