Circonferenza tangente ad una retta
Salve, per quanto riguarda questo problema:
"Determinare l'equazione della circonferenza C tangente in P1(2,-3) alla retta r) di equazione 2x+y=1 e passante per il punto P2(2,1)".
Avevo pensato di considerare il fascio di circonferenze tangenti alla retta R nel punto P1, imponento il passaggio per (2,-3) e imponendo poi a=1,b=1 e calcolando c, per trovare una qualsiasi delle circonferenze del fascio.
Facendo poi la combinazione lineare della circonferenza e della tangente, e imponendo il passaggio per (2,1), ho trovato l'equazione cercata. E' una soluzione corretta? Ce ne sono di alternative?
"Determinare l'equazione della circonferenza C tangente in P1(2,-3) alla retta r) di equazione 2x+y=1 e passante per il punto P2(2,1)".
Avevo pensato di considerare il fascio di circonferenze tangenti alla retta R nel punto P1, imponento il passaggio per (2,-3) e imponendo poi a=1,b=1 e calcolando c, per trovare una qualsiasi delle circonferenze del fascio.
Facendo poi la combinazione lineare della circonferenza e della tangente, e imponendo il passaggio per (2,1), ho trovato l'equazione cercata. E' una soluzione corretta? Ce ne sono di alternative?
Risposte
Siccome la circonferenza deve essere tangente alla retta assegnata, la retta t che congiunge il punto di tangenza con il centro è una retta ortogonale alla retta data. Pertanto il centro deve appartenere a tale retta t. Prendo un punto C generico sulla retta t e impongono che la distanza tra C e P1 e la distanza tra C e P2 siano uguali.
Saresti così gentile da mostrarmi il procedimento? In particolare l'ultima parte, dove prendi un punto generico C e imponi distanza uguale.
Ho anche provato a considerare le tre condizioni (passaggio per P1, passaggio per P2, tangenza a R) per ricavare a,b,c ma i calcoli non vengono. Dici che la mia soluzione è sbagliata?
Ho anche provato a considerare le tre condizioni (passaggio per P1, passaggio per P2, tangenza a R) per ricavare a,b,c ma i calcoli non vengono. Dici che la mia soluzione è sbagliata?
Il quesito di risolve agevolmente, senza troppi calcoli, con il metodo del fascio di coniche.
Una conica che fà al caso nostro è la circonferenza di raggio nullo e centro il punto $(2,-3)$
la cui equazione è :
$(x-2)^2+(y+3)^2=0$
Un'altra conica è la tangente $2x+y-1=0$ considerata come una circonferenza di raggo infinito
e di centro pur'esso all'infinito.
Pertanto il fascio di coniche che soddisfa le condizione del problema ha equazione:
$\lambda[(x-2)^2+(y+3)^2]+\mu(2x+y-1)=0$
Per avere la circonferenza richiesta si deve imporre il passaggio per il punto $(2,1)$.
Facendo questo si ricava l'equazione : $16\lamda+4\mu=0$ da cui $\mu=-4\lambda$
che sostituito nell'equazione del fascio, con qualche facile passaggio, porta all'equazione
$x^2+y^2-12x+2y+17=0$ o se si vuole $(x-6)^2+(y+1)^2=20$
che rappresenta la circonferenza richiesta.
Una conica che fà al caso nostro è la circonferenza di raggio nullo e centro il punto $(2,-3)$
la cui equazione è :
$(x-2)^2+(y+3)^2=0$
Un'altra conica è la tangente $2x+y-1=0$ considerata come una circonferenza di raggo infinito
e di centro pur'esso all'infinito.
Pertanto il fascio di coniche che soddisfa le condizione del problema ha equazione:
$\lambda[(x-2)^2+(y+3)^2]+\mu(2x+y-1)=0$
Per avere la circonferenza richiesta si deve imporre il passaggio per il punto $(2,1)$.
Facendo questo si ricava l'equazione : $16\lamda+4\mu=0$ da cui $\mu=-4\lambda$
che sostituito nell'equazione del fascio, con qualche facile passaggio, porta all'equazione
$x^2+y^2-12x+2y+17=0$ o se si vuole $(x-6)^2+(y+1)^2=20$
che rappresenta la circonferenza richiesta.
Grazie mille! Ho capito.
Sono comunque perplesso, però: possibile non ci siano altri metodi semplici di risolverla correttamente? Noi i fasci di coniche non li abbiamo fatti... Magari ho solo sbagliato i calcoli con le altre soluzioni.
Sono comunque perplesso, però: possibile non ci siano altri metodi semplici di risolverla correttamente? Noi i fasci di coniche non li abbiamo fatti... Magari ho solo sbagliato i calcoli con le altre soluzioni.
@ad1411
Trovo singolare che il prof. non abbia affrontato l'argomento "fascio di coniche" che è un caposaldo
della risoluzione dei problemi sulle coniche. Francamente non vedo come si potrebbero studiare
diversamente tali problemi senza ingolfarsi in una marea di calcoli...
Prova per esempio a trovare l'equazione della conica passante per 5 punti del piano cartesiano
senza l'uso dei fasci e poi mi fai un fischio quando ...finisci!
Trovo singolare che il prof. non abbia affrontato l'argomento "fascio di coniche" che è un caposaldo
della risoluzione dei problemi sulle coniche. Francamente non vedo come si potrebbero studiare
diversamente tali problemi senza ingolfarsi in una marea di calcoli...
Prova per esempio a trovare l'equazione della conica passante per 5 punti del piano cartesiano
senza l'uso dei fasci e poi mi fai un fischio quando ...finisci!
Lo trovo MOLTO singolare anche io, dato che è la seconda volta che mette un esercizio risolvibile con fasci di coniche negli esami, senza averlo fatto durante il corso (non c'è nemmeno nel libro consigliato!).
Purtroppo la mia prof va per la 70ina... e in molti se ne lamentano, giustamente.
Infatti ho provato anche a risolvere l'esercizio con le tre condizioni (passaggio per (2,1), passaggio per (2,-3) e tangenza con la retta con delta a zero) ma i calcoli sono a dir poco... lunghi.
Ti ringrazio ancora!
Purtroppo la mia prof va per la 70ina... e in molti se ne lamentano, giustamente.
Infatti ho provato anche a risolvere l'esercizio con le tre condizioni (passaggio per (2,1), passaggio per (2,-3) e tangenza con la retta con delta a zero) ma i calcoli sono a dir poco... lunghi.
Ti ringrazio ancora!
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