Circonferenza tangente a r e centro c
Salve a tutti, sono nuovo del forum e ho un problema d risolvere
a)Scrivere in forma cartesiana la circonferenza S tangente a r: x+z+1=0 y-2z=0 e di centro C(1,-2,0)
b)Rappresentare in forma cartesiana una sfera contenente la circonferenza S e di raggio $2sqrt{2}$.
c)Determinare l'amgolo tra r e il piano z=0
Per il punto a) trovo i valori di a b della circonferenza dalle coordinate del centro. Il valore di c nell'eqiazione della circonferenza $x^2$+$y^2$+ax+by+c=o lo trovo da c=$\alpha^2$+$\beta^2$-$r^2$. Il raggio equivale alla distanza tra la retta r e il centro della circonferenza C, quindi trovo il piano $\alpha$ per C perpendicolare a r e trovo il punto di tangenza H tra r e la circonferenza come intersezione di r con il piano $\alpha$. A questo punto il raggio r coincide con la distanza CH, e da qui troco c dell'equazione cartesiana della circonferenza.
Ho detto bene?
Per il punto b) come procedo?
Per il punto c) uso sin r$\alpha$ $= \frac{al+bm+cn}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$.
con l,m,n della retta r (che sono (1,-2,0) giusto?) e a,b,c del piano z=0 cioè (1,1,0)?
Grazie mille!
a)Scrivere in forma cartesiana la circonferenza S tangente a r: x+z+1=0 y-2z=0 e di centro C(1,-2,0)
b)Rappresentare in forma cartesiana una sfera contenente la circonferenza S e di raggio $2sqrt{2}$.
c)Determinare l'amgolo tra r e il piano z=0
Per il punto a) trovo i valori di a b della circonferenza dalle coordinate del centro. Il valore di c nell'eqiazione della circonferenza $x^2$+$y^2$+ax+by+c=o lo trovo da c=$\alpha^2$+$\beta^2$-$r^2$. Il raggio equivale alla distanza tra la retta r e il centro della circonferenza C, quindi trovo il piano $\alpha$ per C perpendicolare a r e trovo il punto di tangenza H tra r e la circonferenza come intersezione di r con il piano $\alpha$. A questo punto il raggio r coincide con la distanza CH, e da qui troco c dell'equazione cartesiana della circonferenza.
Ho detto bene?
Per il punto b) come procedo?
Per il punto c) uso sin r$\alpha$ $= \frac{al+bm+cn}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$.
con l,m,n della retta r (che sono (1,-2,0) giusto?) e a,b,c del piano z=0 cioè (1,1,0)?
Grazie mille!
Risposte
benvenuto nel forum.
non ho molta dimestichezza con la geometria analitica tridimensionale, però posso suggerirti che il centro della sfera appartiene alla retta perpendicolare al piano della circonferenza e passante per il centro della stessa circonferenza. inoltre la distanza tra i due centri la puoi trovare anche con il teorema di Pitagora.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
non ho molta dimestichezza con la geometria analitica tridimensionale, però posso suggerirti che il centro della sfera appartiene alla retta perpendicolare al piano della circonferenza e passante per il centro della stessa circonferenza. inoltre la distanza tra i due centri la puoi trovare anche con il teorema di Pitagora.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
"steganos":
Salve a tutti, sono nuovo del forum e ho un problema d risolvere
a)Scrivere in forma cartesiana la circonferenza S tangente a r: x+z+1=0 y-2z=0 e di centro C(1,-2,0)
La circonferenza deve stare sul piano $\pi$ contenente $r$ e passante per il punto $C$.
La circonferenza si ottiene intersecando il piano $\pi$ con la sfera avente centro in $C$ e raggio pari a $CQ$
dove $Q$ è l'intersezione della retta $r$ con il piano $\beta$ ortogonale a $r$ e passante per $C$.
Chiaro ora?
Trovi che il piano $\pi$ ha equazione
$\pi : x + y - z + 1 = 0$
$\pi : x + y - z + 1 = 0$
"steganos":
b)Rappresentare in forma cartesiana una sfera contenente la circonferenza S e di raggio $2sqrt{2}$.
Scritta l'equazione coi suggerimenti di franced ti trovi una situazione del tipo:
$\{(x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0),(a'x+b'y+c'z+d'=0):}$
ogni sfera che contiene S ha equazione della forma:
$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d+t(a'x+b'y+c'z+d')=0$
al variare di t, con $tinRR$
trovati il raggio in funzione di t, imponi che sia $2sqrt2$ e calcoli t.
"franced":
Trovi che il piano $\pi$ ha equazione
$\pi : x + y - z + 1 = 0$
Il piano $\beta$ ha invece equazione
$\beta : x - 2 y - z - 5 = 0$
il punto $Q$ ha coordinate
$Q = ((0),(-2),(-1))$
il raggio della sfera è, pertanto:
$R = sqrt( (1-0)^2 + (-2-(-2))^2 + (0-(-1))^2 ) = sqrt(2)$
In definitiva la circonferenza può essere scritta nel modo seguente:
${((x-1)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 2),(x+y-z+1=0):}$
${((x-1)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 2),(x+y-z+1=0):}$
"franced":
In definitiva la circonferenza può essere scritta nel modo seguente:
${((x-1)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 2),(x+y-z+1=0):}$
Per il punto b) dell'esercizio, basta considerare il fascio di sfere
$(x-1)^2 + (y+2)^2 + z^2 - 2 + lambda (x+y-z+1) = 0$
e imporre che il raggio sia, come richiesto, uguale a $2sqrt(2)$.
Grazie mille per le risposte! Ora mi è piu chiaro, ma...
mi sfugge il concetto di "fascio di sfere" e non riesco a concludere il punto b), cioè non so dove imporre che il raggio della sfera sia quello richiesto..
grazie per le spiegazioni che mi date!
mi sfugge il concetto di "fascio di sfere" e non riesco a concludere il punto b), cioè non so dove imporre che il raggio della sfera sia quello richiesto..
grazie per le spiegazioni che mi date!
"adaBTTLS":
benvenuto nel forum.
non ho molta dimestichezza con la geometria analitica tridimensionale, però posso suggerirti che il centro della sfera appartiene alla retta perpendicolare al piano della circonferenza e passante per il centro della stessa circonferenza. inoltre la distanza tra i due centri la puoi trovare anche con il teorema di Pitagora.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
questo era riferito al punto b).
se consideri un piano perpendicolare alla circonferenza passante per un diametro, e in esso la retta perpendicolare al diametro e passante per il centro, il centro della sfera apparterrà a tale retta ed inoltre se lo unisci con gli estremi del diametro già considerato, viene a formarsi un triangolo isoscele, di cui il centro della circonferenza iniziale è il punto medio della base. si formano dunque due triangoli rettangoli di cui l'ipotenusa è il raggio della sfera, un cateto è il raggio della circonferenza e l'altro cateto è la distanza del centro della sfera dal piano della circonferenza, e conoscendo i due raggi tale distanza te la puoi trovare...
spero sia chiaro. ciao.
"steganos":
Grazie mille per le risposte! Ora mi è piu chiaro, ma...
mi sfugge il concetto di "fascio di sfere" e non riesco a concludere il punto b), cioè non so dove imporre che il raggio della sfera sia quello richiesto..
grazie per le spiegazioni che mi date!
..ho capito era una stupidaggine...fatto...
E per il punto c)?
Grazie mille
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