Circonferenza per tre punti
Ho svolto questo esercizio, ma non so se il risultato e sopratutto il procedimento è giusto
Determinare la circonferenza passante per $P_1(0,1,0),P_2(2,1,0),P_3(0,1,4)$
per prima cosa ho determinato il piano della circonferenza e risulta essere $\alpha:y=1$ e questo è semplice e si ottiene o determinando l'unico piano per tre punti distinti o considerando il fascio individuato ad esempio dalla retta $t=[P_1P_2]$ ed imponendo il passaggio per il terzo punto.
A questo punto ho pensato di prendere il piano ortogonale alla retta $t$ ed imporre che il punto punto medio di $P_1P_2$ vi appartenesse.
determino così il piano $beta:x=1$.
quindi il centro $C$ della nostra circonferenza giace sulla retta $t'=\alphannbeta$ ha pertanto coordinate $C(1,1,h)$
a questo punto basta imporre che $d(CP_1)=d(CP_3)$ per ottenere il raggio ed il centro. Esce quindi la circonferenza di centro $C(1,1,2)$ e raggio $sqrt(5)$.
Per completare l'esercizio ora basta considerare la sfera di uguale raggio e uguale centro e fare l'intersezione.
Il mio dubbio risiede sull'identificazione della retta su cui deve risiedere il centro. E' corretto il mio svolgimento?
Grazie a tutti
Determinare la circonferenza passante per $P_1(0,1,0),P_2(2,1,0),P_3(0,1,4)$
per prima cosa ho determinato il piano della circonferenza e risulta essere $\alpha:y=1$ e questo è semplice e si ottiene o determinando l'unico piano per tre punti distinti o considerando il fascio individuato ad esempio dalla retta $t=[P_1P_2]$ ed imponendo il passaggio per il terzo punto.
A questo punto ho pensato di prendere il piano ortogonale alla retta $t$ ed imporre che il punto punto medio di $P_1P_2$ vi appartenesse.
determino così il piano $beta:x=1$.
quindi il centro $C$ della nostra circonferenza giace sulla retta $t'=\alphannbeta$ ha pertanto coordinate $C(1,1,h)$
a questo punto basta imporre che $d(CP_1)=d(CP_3)$ per ottenere il raggio ed il centro. Esce quindi la circonferenza di centro $C(1,1,2)$ e raggio $sqrt(5)$.
Per completare l'esercizio ora basta considerare la sfera di uguale raggio e uguale centro e fare l'intersezione.
Il mio dubbio risiede sull'identificazione della retta su cui deve risiedere il centro. E' corretto il mio svolgimento?
Grazie a tutti
Risposte
La tua risoluzione mi sembra perfetta.
Nota che il piano $beta$ è il luogo dei punti equidistanti da $P_1$ e $P_2$.
Equivalentemente avresti potuto trovare il centro $C$ sul piano $alpha$ notando che $\{C\}=alpha\cap r$, dove $r=\beta\cap\gamma$ e $gamma$ è il luogo (è un piano) dei punti equidistanti da $P_1$ e $P_3$ (che tu hai ottenuto imponendo $d(C,P_1)=d(C,P_3)$).
Un'altra idea di risoluzione (un po' più "contaiola") è qui.
Riassumo un po' visto che il link è un po' confuso. Trovi il piano $alpha$ per $P_1,P_2,P_3$ (e vabbè, l'hai già fatto).
L'equazione della sfera è $Q: x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$. Imponendo il passaggio per $P_1,P_2,P_3$ ottieni un sistema di tre equazioni nelle quattro incognite $a,b,c,d$. L'ultima incognita puoi ricavartela imponendo che il centro della sfera sia sul piano $alpha$.
Naturalmente, come hai giustamente detto, la circonferenza sarà $Q \cap \alpha$
Nota che il piano $beta$ è il luogo dei punti equidistanti da $P_1$ e $P_2$.
Equivalentemente avresti potuto trovare il centro $C$ sul piano $alpha$ notando che $\{C\}=alpha\cap r$, dove $r=\beta\cap\gamma$ e $gamma$ è il luogo (è un piano) dei punti equidistanti da $P_1$ e $P_3$ (che tu hai ottenuto imponendo $d(C,P_1)=d(C,P_3)$).
Un'altra idea di risoluzione (un po' più "contaiola") è qui.
Riassumo un po' visto che il link è un po' confuso. Trovi il piano $alpha$ per $P_1,P_2,P_3$ (e vabbè, l'hai già fatto).
L'equazione della sfera è $Q: x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$. Imponendo il passaggio per $P_1,P_2,P_3$ ottieni un sistema di tre equazioni nelle quattro incognite $a,b,c,d$. L'ultima incognita puoi ricavartela imponendo che il centro della sfera sia sul piano $alpha$.
Naturalmente, come hai giustamente detto, la circonferenza sarà $Q \cap \alpha$
Grazie mille Cirasa per l'aiuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo