Circonferenza nello spazio per tre punti
Salve a tutti, mi sono bloccata su un esercizio e non so come procedere. Il testo mi chiede di determinare la circonferenza dello spazio passante per i punti A=(2, 1, 0) B=(2, -1, -2) C=(1, 1, 1) e successivamente trovarne centro e raggio.
Sapendo che la circonferenza nello spazio è l'intersezione di una sfera con un piano, mi sono calcolata il piano passante per i tre punti (x-y+z-1=0). Come procedo adesso? Come trovo la sfera?
Sapendo che la circonferenza nello spazio è l'intersezione di una sfera con un piano, mi sono calcolata il piano passante per i tre punti (x-y+z-1=0). Come procedo adesso? Come trovo la sfera?
Risposte
Trova la sfera passante per i 3 punti dati e per un quarto punto scelto a piacere: per es. O(0,0,0).
Se non ho fatto errori dovrebbe essere questa :
$x^2+y^2+z^2-5x+5y-3z=0$
Successivamemte interseca questa sfera col piano che hai trovato ed avrai la circonferenza richiesta. La ricerca del centro e del raggio di tale circonf. è una questione di routine...
Se non ho fatto errori dovrebbe essere questa :
$x^2+y^2+z^2-5x+5y-3z=0$
Successivamemte interseca questa sfera col piano che hai trovato ed avrai la circonferenza richiesta. La ricerca del centro e del raggio di tale circonf. è una questione di routine...
Ciao a te 
Io ti consiglierei di seguire una strada puramente algebrica, anche se un po' calcolosa:
innazitutto considera l'equazione cartesiana della generica sfera nello spazio, ossia $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$
A questo punto devi inserire nell'equazione le tre condizioni che impongono il passaggio per i tre punti dati, e risolvere il sistema che ti fornirà le equazioni del fascio di sfere passanti per i tre punti.
$\{(2a+b+d=-5),(2a-b-2c+d=-9),(a+b+c+d=-3):}$
A questo punto, visto che ti sei già calcolata il piano passante per i tre punti, tanto vale utilizzarlo fino in fondo; scegli la sfera più comoda, in questo caso quella il cui centro appartiene al piano, basta imporre all'equazione del fascio precedentemente trovata la condizione che il centro (di coordinate $((-a/2),(-b/2),(-c/2))$) appartenga al piano $x-y+z-1=0$ da te trovato. A questo punto hai l'equazione di un'unica sfera: la intersechi con il piano e hai tutto. Spero di essere stato sufficientemente chiaro
Io ti consiglierei di seguire una strada puramente algebrica, anche se un po' calcolosa:
innazitutto considera l'equazione cartesiana della generica sfera nello spazio, ossia $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$
A questo punto devi inserire nell'equazione le tre condizioni che impongono il passaggio per i tre punti dati, e risolvere il sistema che ti fornirà le equazioni del fascio di sfere passanti per i tre punti.
$\{(2a+b+d=-5),(2a-b-2c+d=-9),(a+b+c+d=-3):}$
A questo punto, visto che ti sei già calcolata il piano passante per i tre punti, tanto vale utilizzarlo fino in fondo; scegli la sfera più comoda, in questo caso quella il cui centro appartiene al piano, basta imporre all'equazione del fascio precedentemente trovata la condizione che il centro (di coordinate $((-a/2),(-b/2),(-c/2))$) appartenga al piano $x-y+z-1=0$ da te trovato. A questo punto hai l'equazione di un'unica sfera: la intersechi con il piano e hai tutto. Spero di essere stato sufficientemente chiaro
E' tutto chiaro, solo un piccolo chiarimento... Esattamente come arrivi a quel sistema?
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