Circonferenza in $A^3$

[nato_pigro1]

Come posso provare che un $f(y,z)=0$ nello spazion affine $A^3$ è una circonferenza?

Ad esempio $y^2+z^2+yz-k(y+z)=0$ è una circonferenza?

[NightKnight1]

Beh no.
1) motivazione intuitiva (che è meglio non dire a un professore): ogni volta che imponiamo un'equazione la dimensione del luogo delle soluzioni cala di 1 (ciò non è vero sempre, ma diciamo che è vero spesso). Allora se hai imposto 1 equazione in uno spazio a 3 dimensioni, ottieni qualcosa che dovrebbe avere dimensione $3-1=2$ e quindi non può essere una circonferenza che ha dimensione $1$. (Nota che sono stato molto vago sul concetto di dimensione! Non è la dimensione di uno spazio vettoriale, è qualcosa di più complicato che non vale la pena definire qui, ma che comunque risponde esattamente a un'idea intuitiva)
2) motivazione più corretta: è il luogo di zeri di un polinomio di secondo grado. Quindi è, per definizione, una quadrica in $A^3$. Ma una circonferenza è, per definizione, una quadrica in $A^2$.

[nato_pigro1]

1) a dir la verità quello sarebbe il risultato dell'intersezione di un piano con una quadrica...

2) ok, ma allora se io voglio una circonferenza in $A^3$, che esiste, basta immagianrsi una sfera intersecata a un piano, come faccio a riconoscerla quando la vedo?

[NightKnight1]

"nato_pigro":1) a dir la verità quello sarebbe il risultato dell'intersezione di un piano con una quadrica...

Sicuro?? A me sembra un solo polinomio di secondo grado.

[Gatto891]

Bòn, possiamo anche vederla intutivamente così... a $x $ fissato, quella non è altro che una circonferenza che si trova sul piano $x = k$; poichè non ci sono vincoli sulle $x$, il tuo luogo geometrico è "l'unione" di queste circonferenze e quindi puoi vederlo in $RR^3$ come una specie di cilindro illimitato...

[nato_pigro1]

${(xy+yz+xz=0),(x+y+z=k):}$

[NightKnight1]

"nato_pigro":${(xy+yz+xz=0),(x+y+z=k):}$

Ah, ma questo non è quello che hai scritto nel primo post...

[nato_pigro1]

hai ragione...