Chiusura, parte interna

[fabjolie1]

Ciao a tutti, cercavo di risolvere questo esercizio:

\( X = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \quad \text{t.c.} \quad x \in \mathbb{Q}\} \)

riesco a capire di che insieme stiamo parlando, ovvero un'insieme infinito di rette verticali, che hanno in comune la retta delle ascisse, ma non riesco a capire come faccio a trovare la chiusura e la parte interna!
grazie in anticipo per chi risponderà!

[DavideGenova1]

La parte interna direi che è \(\stackrel{\circ}{X}=\emptyset\) perché, nella topologia euclidea, non è possibile trovare un aperto di \(\mathbb{R}^2\) che, fissato un \(x\in\mathbb{Q}\), contenga \((x,y)\) senza contenere segmenti di retta aperti di ascisse irrazionali maggiori e minori di $x$.
L'insieme \(\mathbb{R}^2\setminus X=\{(x',y')\in\mathbb{R}^2:x'\notin \mathbb{Q}\}\) è anch'esso tale che, fissato un $x'$ irrazionale, ogni aperto di \(\mathbb{R}^2\) contenente $x'$ contiene anche segmenti di retta aperti di ascisse razionali, quindi ogni \((x',y')\) è un punto di frontiera di $X$. Perciò direi che \(\bar{X}=\mathbb{R}^2\), cioè $X$ è denso in \(\mathbb{R}^2\).
Spero di non aver detto scemenze...
Ciao!

[fabjolie1]

Grazie mille, alla prima parte ci ero arrivato, ma la densità me la son proprio scordata dalla testa! grazie ancora