Chiusura di un insieme
Buongiorno. Ho trovato su un libro di topologia un esercizio che mi ha lasciato dei dubbi. Chiede di trovare un insieme chiuso e limitato che non sia compatto in uno spazio metrico. Nelle soluzioni c'era l'insieme
$X=[0, 1 ) uu [2,3]$ .
In particolare bisogna dimostrare che [ 0,1 ) è limitato e chiuso. È sicuramente limitato. Ma per dimostrare che è chiuso ho pensato che lo fosse in quanto il complementare in questo caso è aperto. Ragionare in questo modo e giusto?
[xdom="Martino"]Basta un \$ all'inizio e un \$ alla fine della formula. Quando finisci di scrivere il tuo intervento per favore clicca su "anteprima" per vedere come è venuto e solo dopo su "invia". Grazie.[/xdom]
$X=[0, 1 ) uu [2,3]$ .
In particolare bisogna dimostrare che [ 0,1 ) è limitato e chiuso. È sicuramente limitato. Ma per dimostrare che è chiuso ho pensato che lo fosse in quanto il complementare in questo caso è aperto. Ragionare in questo modo e giusto?
[xdom="Martino"]Basta un \$ all'inizio e un \$ alla fine della formula. Quando finisci di scrivere il tuo intervento per favore clicca su "anteprima" per vedere come è venuto e solo dopo su "invia". Grazie.[/xdom]
Risposte
Benvenuta tra di noi. 
Do per scontato che tu stia usando la topologia naturale di \(\displaystyle\mathbb{R}\) indotta su \(\displaystyle X\);
faccio una domanda facile: come dimostreresti formalmente che \(\displaystyle X\) è un insieme limitato? Di conseguenza (esercizio) ogni suo sottoinsieme è limitato.
Do per scontato che tu stia usando la topologia naturale di \(\displaystyle\mathbb{R}\) indotta su \(\displaystyle X\);
faccio una domanda facile: come dimostreresti formalmente che \(\displaystyle X\) è un insieme limitato? Di conseguenza (esercizio) ogni suo sottoinsieme è limitato.
La domanda è se [0,1) è chiuso 
Grazie per la risposta. Sì, l'esercizio chiede di dimostrare che $[ 0,1 ) $ è chiuso.
Per dimostrare formalmente che un insieme è limitato penso che basti dimostrare che esiste un aperto $ A $ che contenga l'insieme. Quindi in particolare esiste una palla aperta $ B (x, r) $ tale che $ B ( x, r) $ sia contenuta in $ A$. Di conseguenza se $ X $ è limitato, un suo sottoinsieme $[ 0,1 )$ è limitato
Per dimostrare formalmente che un insieme è limitato penso che basti dimostrare che esiste un aperto $ A $ che contenga l'insieme. Quindi in particolare esiste una palla aperta $ B (x, r) $ tale che $ B ( x, r) $ sia contenuta in $ A$. Di conseguenza se $ X $ è limitato, un suo sottoinsieme $[ 0,1 )$ è limitato
@Martino Veramente la domanda è: dimostrare che \(\displaystyle[0,1[\) è chiuso e limitato.
@sira Scrivi esplicitamente una "palla aperta" e hai provato la limitatezza.
Quindi faccio una seconda domanda: ti è chiaro che \(\displaystyle[0,1[\) dovrebbe (dato che non è stato dimostrato) essere un sottoinsieme chiuso di \(\displaystyle X\) e non di \(\displaystyle\mathbb{R}\)?
@sira Scrivi esplicitamente una "palla aperta" e hai provato la limitatezza.
Quindi faccio una seconda domanda: ti è chiaro che \(\displaystyle[0,1[\) dovrebbe (dato che non è stato dimostrato) essere un sottoinsieme chiuso di \(\displaystyle X\) e non di \(\displaystyle\mathbb{R}\)?
In realtà non mi è chiaro del tutto... 
quindi è chiuso in $ X $ perché il suo complementare appartiene ad una palla aperta, quindi è aperto?
Inoltre volevo chiederti se dimostrare in questo modo che è limitato va bene formalmente
quindi è chiuso in $ X $ perché il suo complementare appartiene ad una palla aperta, quindi è aperto? Inoltre volevo chiederti se dimostrare in questo modo che è limitato va bene formalmente
Ecco: è qui che ti aspettavo!
Rimaniamo un attimo sulla limitatezza;
per semplicità, consideriamo una palla aperta di centro \(\displaystyle0\), ovvero questa sarà un intervallo aperto del tipo \(\displaystyle]-r,r[\): chi può essere \(\displaystyle r>0\) tale che \(\displaystyle X\subseteq]-r,r[\)? Esplicitato ciò, hai formalmente dimostrato che \(\displaystyle X\) è un insieme limitato.
Rimaniamo un attimo sulla limitatezza;
per semplicità, consideriamo una palla aperta di centro \(\displaystyle0\), ovvero questa sarà un intervallo aperto del tipo \(\displaystyle]-r,r[\): chi può essere \(\displaystyle r>0\) tale che \(\displaystyle X\subseteq]-r,r[\)? Esplicitato ciò, hai formalmente dimostrato che \(\displaystyle X\) è un insieme limitato.
Potrebbe essere un qualsiasi $r>3$ . Quindi ad esempio si può scrivere $Xsube]-4,4[$ è limitato.
Perfetto! 
Facciamo un altro passettino in avanti: \(\displaystyle X\) è un sottoinsieme chiuso o aperto di \(\displaystyle\mathbb{R}\) (con la topologia naturale)?
Facciamo un altro passettino in avanti: \(\displaystyle X\) è un sottoinsieme chiuso o aperto di \(\displaystyle\mathbb{R}\) (con la topologia naturale)?
$ X $ è unione di due insiemi: $[ 0,1 ) $ e $[ 2,3 ] $ . Il secondo è sicuramente chiuso perché il suo complementare è aperto. Se dimostro che $ [ 0,1 )$ è chiuso ho finito perché ho dimostrato che ho unione di chiusi (che è chiusa). Ma $[ 0,1 ) $ in realtà non è né aperto ne chiuso per definizione?
Per dimostrare che \(\displaystyle[0,1[\) non è né aperto e né chiuso in \(\displaystyle\mathbb{R}\) (con la topologia naturale), puoi ragionare così:
[list=1]
[*:3aooovrt]dimostra che \(\displaystyle0\in X\) non è un punto interno, quindi \(\displaystyle X\) non può essere aperto;[/*:m:3aooovrt]
[*:3aooovrt]dimostra che \(\displaystyle1\notin X\) è un punto aderente, quindi \(\displaystyle X\) non può essere chiuso.[/*:m:3aooovrt][/list:o:3aooovrt]
Di conseguenza \(\displaystyle X\) è un sottoinsieme limitato ma non chiuso di \(\displaystyle\mathbb{R}\), ovvero non può essere un sottoinsieme compatto di \(\displaystyle\mathbb{R}\).
Poi... aspetto che faccia anche questo passo.
P.S.: Non per essere pedante e tronfio, ma se considerassimo la topologia di Sorgenfrey su \(\displaystyle\mathbb{R}\), \(\displaystyle X\) sarebbe un insieme chiuso e (secondo una particolare premetrica) limitato ma non compatto.
[list=1]
[*:3aooovrt]dimostra che \(\displaystyle0\in X\) non è un punto interno, quindi \(\displaystyle X\) non può essere aperto;[/*:m:3aooovrt]
[*:3aooovrt]dimostra che \(\displaystyle1\notin X\) è un punto aderente, quindi \(\displaystyle X\) non può essere chiuso.[/*:m:3aooovrt][/list:o:3aooovrt]
Di conseguenza \(\displaystyle X\) è un sottoinsieme limitato ma non chiuso di \(\displaystyle\mathbb{R}\), ovvero non può essere un sottoinsieme compatto di \(\displaystyle\mathbb{R}\).
Poi... aspetto che faccia anche questo passo.
P.S.: Non per essere pedante e tronfio, ma se considerassimo la topologia di Sorgenfrey su \(\displaystyle\mathbb{R}\), \(\displaystyle X\) sarebbe un insieme chiuso e (secondo una particolare premetrica) limitato ma non compatto.
$ 0 $ non è un punto interno perché $ 0 notin uuu A $ dove con $ A $ si indicano gli aperti contenuti in $ [ 0,1 ) $ . Infatti ad esempio, $0 notin (0,1 ) $ che è il più grande aperto di $ [ 0,1 ) $.
$ 1 $ non è un punto di aderenza perché $1 notin nnn C $ dove con $ C $ indichiamo tutti i chiusi contenenti $ [ 0,1 ) $, ad esempio se $ [ 0, 1 / 2] $ è il più grande chiuso di $ [ 0,1 ) $ , allora $1 notin [ 0,1 ) $ .
Quindi $ [ 0,1 ) $ non è un chiuso di $ RR $.
Se considerassimo $ [ 0,1 ) $ con la topologia di Sorgenfrey allora sarebbe un chiuso poiché gli insiemi che sono alla base di questa topologia sono del tipo $ [ a, b ) $ ,con $ a, b in RR $
$ 1 $ non è un punto di aderenza perché $1 notin nnn C $ dove con $ C $ indichiamo tutti i chiusi contenenti $ [ 0,1 ) $, ad esempio se $ [ 0, 1 / 2] $ è il più grande chiuso di $ [ 0,1 ) $ , allora $1 notin [ 0,1 ) $ .
Quindi $ [ 0,1 ) $ non è un chiuso di $ RR $.
Se considerassimo $ [ 0,1 ) $ con la topologia di Sorgenfrey allora sarebbe un chiuso poiché gli insiemi che sono alla base di questa topologia sono del tipo $ [ a, b ) $ ,con $ a, b in RR $
Con lo \(\displaystyle0\) ci siamo; con \(\displaystyle1\) no!, questi è un punto di aderenza; ad esempio \(\displaystyle1\in[0,1]\supsetneqq[0,1[\)... Se ci ragioni: \(\displaystyle[0,1]\) è la chiusura di \(\displaystyle[0,1[\), e quindi quest'ultimo non è chiuso.
Ok, ok, grazie , ho capito
Bene: abbiamo capìto che \(\displaystyle X\) è un sottoinsieme limitato ma né chiuso e né aperto di \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia naturale.
Sapresti descrivere tutti i sottoinsiemi aperti di \(\displaystyle X\)?
Suggerimento: non basta considerare i sottoinsiemi aperti di \(\displaystyle\mathbb{R}\) contenuti in \(\displaystyle X\)!
Sapresti descrivere tutti i sottoinsiemi aperti di \(\displaystyle X\)?
Suggerimento: non basta considerare i sottoinsiemi aperti di \(\displaystyle\mathbb{R}\) contenuti in \(\displaystyle X\)!
Sicuramente sono tutti i sottoinsiemi aperti di $X$ , quindi ad esempio $(0,1)$ , $(2,3)$ e tutti i loro possibili sottoinsiemi, $(0,1/2)$ , $(1/2,1)$ ,ecc... Inoltre possiamo considerare come aperto di $X$ gli insiemi $(-\epsilon,1)$ oppure $(2-\epsilon,3+epsilon)$ dove con $\epsilon$ indichiamo un numero piccolo ma positivo $\epsilon>0$ e quindi anche i loro sottoinsiemi aperti.
Sì, ma questi sono anche sottoinsiemi aperti di \(\displaystyle\mathbb{R}\).
Se ci ragioni un po': \(\displaystyle X\) è un sottoinsieme aperto di sé stesso, ma non è aperto in \(\displaystyle\mathbb{R}\)...
Ciò che ti serve si chiama topologia indotta; usando questo concetto, otterrai facilmente che \(\displaystyle[0,1[\) è un sottoinsieme aperto e chiuso (ovvero un clopen) di \(\displaystyle X\) ma non di \(\displaystyle\mathbb{R}\).
Se ci ragioni un po': \(\displaystyle X\) è un sottoinsieme aperto di sé stesso, ma non è aperto in \(\displaystyle\mathbb{R}\)...
Ciò che ti serve si chiama topologia indotta; usando questo concetto, otterrai facilmente che \(\displaystyle[0,1[\) è un sottoinsieme aperto e chiuso (ovvero un clopen) di \(\displaystyle X\) ma non di \(\displaystyle\mathbb{R}\).
Grazie per la dritta, non ci sarei mai arrivata da sola... quindi ad esempio per mostrarlo dovrei porre $ Y=[0,1 ) uu [2,3) $ , dove $ Y $ è un sottoinsieme di $ X $ , $ V =(0,1 ) $ è un aperto di $ X $ , quindi per la topologia indotta da $ X $ su $ Y $ $ U=V nn Y=(0,1 ) $ che è aperto di $ Y $ ma chiuso in $ X $
Sì, esatto; se non ho fatto male il ragionamento su \(\displaystyle U\)...
Ok, grazie per l'aiuto
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