Chiusura di insieme connesso è connessa
Dimostra che dato un sottoinsieme connesso \( A \) di uno spazio topologico allora \( \operatorname{cl}(A) \) è connessa.
Va bene così, dati due aperti in \( W_1,W_2 \in \tau_{X,\operatorname{cl}(A)} \) tale che \( W_1 \cap W_2 = \emptyset \) e \( \operatorname{cl}(A)= W_1 \cup W_2 \) abbiamo allora che \( W_1 = \operatorname{cl}(A) \cap U_1 \) e \( W_2 = \operatorname{cl}(A) \cap U_2 \) per degli aperti \( U_1,U_2 \) in \( X \).
Ma allora abbiamo che \( A= V_1 \cup V_2 \) con \( V_1 \cap V_2 = \emptyset \) con \( V_1 = A \cap U_1 \) e \( V_2= A \cap U_2 \).
Siccome \( A \) connesso abbiamo che wlog \( V_1 = \emptyset \).
Quindi o \( A = \emptyset \) e quindi \( \operatorname{cl}(A) = \emptyset \) che è connesso.
Oppure \( A \neq \emptyset \) e quindi \( U_1 = \emptyset \) e quindi segue che \( W_1 = \emptyset \).
Vi sembra corretto?
Va bene così, dati due aperti in \( W_1,W_2 \in \tau_{X,\operatorname{cl}(A)} \) tale che \( W_1 \cap W_2 = \emptyset \) e \( \operatorname{cl}(A)= W_1 \cup W_2 \) abbiamo allora che \( W_1 = \operatorname{cl}(A) \cap U_1 \) e \( W_2 = \operatorname{cl}(A) \cap U_2 \) per degli aperti \( U_1,U_2 \) in \( X \).
Ma allora abbiamo che \( A= V_1 \cup V_2 \) con \( V_1 \cap V_2 = \emptyset \) con \( V_1 = A \cap U_1 \) e \( V_2= A \cap U_2 \).
Siccome \( A \) connesso abbiamo che wlog \( V_1 = \emptyset \).
Quindi o \( A = \emptyset \) e quindi \( \operatorname{cl}(A) = \emptyset \) che è connesso.
Oppure \( A \neq \emptyset \) e quindi \( U_1 = \emptyset \) e quindi segue che \( W_1 = \emptyset \).
Vi sembra corretto?
Risposte
Mi sembra giusta ma allo stesso tempo ho un grosso dubbio, perché mi sembra funzionare anche per qualunque \( A \subset B \) ma questo è palesemente sbagliato.
Anzi di più dati \( A \subset B \subset C \) sottoinsiemi di uno spazio topologico \( X \), con \( A \) e \( C \) connessi, \( B \) non è necessariamente connesso infatti preso \( (\mathbb{R}, \tau_E) \).
E scelti \( A= (0,1) \), \( C = (0,3) \) e \( B=(0,1) \cup (2,3) \), abbiamo \( A,C \) connessi ma \( B \) disconnesso.
Credo che la fallacia nel mio ragionamento sopra sia dedurre da \( A \neq \emptyset \) che \( U_1 = \emptyset \) potrei avere \( U_1 \neq \emptyset \) e comunque \( A \cap U_1 = \emptyset \).
E quindi se supponiamo
\( U_1 \cap \operatorname{cl}(A) \neq \emptyset \) allora esiste un \( a \in U_1 \cap \operatorname{cl}(A) \)
vuol dire che \( U_1 \) è un intorno di \( a \) che non ha elementi in comune con \( A \), e siccome \( a \in \operatorname{cl}(A) \) per densità di \( A \) nella sua chiusura è assurdo!
Questa ultima parte è falsa se consideriamo un qualunque \(B \) che contiene \( A \) poiché \( A\) potrebbe non essere denso in \(B \).
Anzi di più dati \( A \subset B \subset C \) sottoinsiemi di uno spazio topologico \( X \), con \( A \) e \( C \) connessi, \( B \) non è necessariamente connesso infatti preso \( (\mathbb{R}, \tau_E) \).
E scelti \( A= (0,1) \), \( C = (0,3) \) e \( B=(0,1) \cup (2,3) \), abbiamo \( A,C \) connessi ma \( B \) disconnesso.
Credo che la fallacia nel mio ragionamento sopra sia dedurre da \( A \neq \emptyset \) che \( U_1 = \emptyset \) potrei avere \( U_1 \neq \emptyset \) e comunque \( A \cap U_1 = \emptyset \).
E quindi se supponiamo
\( U_1 \cap \operatorname{cl}(A) \neq \emptyset \) allora esiste un \( a \in U_1 \cap \operatorname{cl}(A) \)
vuol dire che \( U_1 \) è un intorno di \( a \) che non ha elementi in comune con \( A \), e siccome \( a \in \operatorname{cl}(A) \) per densità di \( A \) nella sua chiusura è assurdo!
Questa ultima parte è falsa se consideriamo un qualunque \(B \) che contiene \( A \) poiché \( A\) potrebbe non essere denso in \(B \).
Così va bene.
Grazie,
ma perdonami nuovamente dall'ultimo messaggio deduco che sia vero per \( A \subset B \subset \operatorname{cl}(A) \) che \( B \) connesso se \( A \) connesso.
Infatti \( A \) è denso in \( B \).
Però come mai la seguente idea di dimostrazione non può essere applicata a qualunque \( A \subset B \subset C \) con \( A,C \) connessi?
Siccome \( A \) connesso allora \( \operatorname{cl}(A) \) connesso e pertanto una qualunque funzione continua \( f: \operatorname{cl}(A) \to \{0,1\} \), dove \( \{0,1\} \) è munito della topologia discreta è costante.
Abbiamo pertanto che essendo la chiusura di \( A \) connessa risulta essere wlog \( f(\operatorname{cl}(A))=\{0\} \).
\( f \) è continua anche ristretta a \( B \) e poiché \( B \subset \operatorname{cl}(A) \) abbiamo che
\( f(B) \subset f(\operatorname{cl}(A)) \) pertanto è costante anche sulla restrizione di \( B \) e dunque \( B \) costante.
Vi sarà un errore anche qui?
ma perdonami nuovamente dall'ultimo messaggio deduco che sia vero per \( A \subset B \subset \operatorname{cl}(A) \) che \( B \) connesso se \( A \) connesso.
Infatti \( A \) è denso in \( B \).
Però come mai la seguente idea di dimostrazione non può essere applicata a qualunque \( A \subset B \subset C \) con \( A,C \) connessi?
Siccome \( A \) connesso allora \( \operatorname{cl}(A) \) connesso e pertanto una qualunque funzione continua \( f: \operatorname{cl}(A) \to \{0,1\} \), dove \( \{0,1\} \) è munito della topologia discreta è costante.
Abbiamo pertanto che essendo la chiusura di \( A \) connessa risulta essere wlog \( f(\operatorname{cl}(A))=\{0\} \).
\( f \) è continua anche ristretta a \( B \) e poiché \( B \subset \operatorname{cl}(A) \) abbiamo che
\( f(B) \subset f(\operatorname{cl}(A)) \) pertanto è costante anche sulla restrizione di \( B \) e dunque \( B \) costante.
Vi sarà un errore anche qui?
Chi ha detto che non può essere applicata la stessa idea a quel caso?
"3m0o":
\( (\mathbb{R}, \tau_E) \).
E scelti \( A= (0,1) \), \( C = (0,3) \) e \( B=(0,1) \cup (2,3) \), abbiamo \( A,C \) connessi ma \( B \) disconnesso.
Questo controesempio.
Infatti se abbiamo che data una funzione continua \( f: (0,3) \to \{0,1\} \), poiché \( (0,3) \) è connesso \(f \) è costante, diciamo \( f((0,3)) = \{0\} \) e poiché \( f \) ristretta a \( (0,1) \cup (2,3) \) è continua e poiché \( (0,1) \cup (2,3) \subset (0,3) \) dovremmo avere \( f((0,1) \cup (2,3)) \subset f((0,3)) \) e quindi \( f \) costante quindi \(B \) connesso... ma \( B \) non è connesso...
Scusami avevo letto male, chiaramente non può essere vero, l'ipotesi che $C=\bar{A}$ la usi per dire che $\bar{A}\setminus A$ non può contenere aperti (di $\bar{A}$), cioè quando dici che è assurdo.
"3m0o":
Questo controesempio.
Infatti se abbiamo che data una funzione continua \( f: (0,3) \to \{0,1\} \), poiché \( (0,3) \) è connesso \( f \) è costante, diciamo \( f((0,3)) = \{0\} \) e poiché \( f \) ristretta a \( (0,1) \cup (2,3) \) è continua e poiché \( (0,1) \cup (2,3) \subset (0,3) \) dovremmo avere \( f((0,1) \cup (2,3)) \subset f((0,3)) \) e quindi \( f \) costante quindi \( B \) connesso... ma \( B \) non è connesso...
Quindi dove sta l'errore in questa argomenazione? Non lo riesco a trovare, mi sembra corretto ma chiaramente non lo è
Che quella cosa non implica la connessione dello spazio.
"otta96":
Che quella cosa non implica la connessione dello spazio.
Scusami ma c'è un teorema che dice che
Sia \( (X, \tau_X ) \) uno spazio topologico, allora è connesso se e solo se tutte le funzioni continue \( f: X \to \{0,1\} \) con la topologia discreta sono costanti.
Pertanto se \(f \) è costante sulla restrizione a \(B \) allora \(B \) è connesso. Quindi c'è qualcosa nel ragionamento che fa si che la \(f \) non è costante su \(B \), e non capisco cosa.
"3m0o":
[quote="otta96"]Che quella cosa non implica la connessione dello spazio.
Scusami ma c'è un teorema che dice che
Sia \( (X, \tau_X ) \) uno spazio topologico, allora è connesso se e solo se tutte le funzioni continue \( f: X \to \{0,1\} \) con la topologia discreta sono costanti.
Pertanto se \(f \) è costante sulla restrizione a \(B \) allora \(B \) è connesso. Quindi c'è qualcosa nel ragionamento che fa si che la \(f \) non è costante su \(B \), e non capisco cosa.[/quote]
LOL mi sono autorisposto! Se TUTTE le funzioni continue sono costanti. Tutte le funzioni continue su \((0,3)\) sono costanti. Tutte le funzioni continue su \((0,3)\) sono continue e costanti anche ristrette a \( (0,1) \cup (2,3)\) ma vi sono funzioni continue e NON costanti su \( (0,1) \cup (2,3)\), chiaramente queste non sono continue se estese a \((0,3)\).
Ecco.
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