Chiusura di A intersezione B , con A aperto

[dark121it]

Salve a tutti,

la mia prof a un certo punto di un teorema usa la seguente proprietà:

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Sia $X$ uno spazio topologico, $A,B\subset X$. Se $A$ è aperto
allora $A\cap\overline{B}\subset\overline{A\cap B}$.

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Non riesco a dimostrare questo fatto!!

E' evidente che $A\cap\overline{B}\subset\overline{A}\cap\overline{B}$.
Quindi ho pensato che in questo caso $\overline{A}\cap\overline{B}\subset\overline{A\cap B}$
(mentre in generale vale il viceversa).

Ho provato ad utilizzare l'ipotesi di apertura sfruttando il fatto
che $\overline{A}=Int(A)\cup\partial A$ ma non riesco
a ricondurmi alla tesi del teorema.

[perplesso1]

Supponiamo $x \in A \cap \bar B$ allora $x \in A$ e $x \in \bar B$ quindi ogni aperto che contiene $x$ ha un'intersezione non vuota con $B$. Notiamo che se $V$ è un aperto che contiene $x$ anche $A \cap V$ è un aperto che contiene $x$ perchè $A$ è aperto per ipotesi. Allora per ogni intorno $V$ di $x$ si ha $V \cap (A \cap B) = (A \cap V) \cap B \ne \emptyset$ che per definizione significa $x \in \bar {A \cap B}$

[j18eos]

[ERR]Affermazione errata e cancellata![\ERR]

Grazie Perplesso e scusa dark121it!

[perplesso1]

Armando scusami sei sicuro che non volevi dire l'unione ?

[dark121it]

"perplesso":Supponiamo $x \in A \cap \bar B$ allora $x \in A$ e $x \in \bar B$ quindi ogni aperto che contiene $x$ ha un'intersezione non vuota con $B$. Notiamo che se $V$ è un aperto che contiene $x$ anche $A \cap V$ è un aperto che contiene $x$ perchè $A$ è aperto per ipotesi. Allora per ogni intorno $V$ di $x$ si ha $V \cap (A \cap B) = (A \cap V) \cap B \ne \emptyset$ che per definizione significa $x \in \bar {A \cap B}$

Mmmhhhhh....sì, mi convince! Molte grazie perplesso.