Chiusura, compattezza e connessione di un insieme particola
Credo che questo sia l'ultimo dubbio che mi è rimasto, almeno spero :S
Devo determinare la chiusura di $Y=[\sqrt 2 , 3[ \cap Q$ e dire se l'insieme è compatto e connesso.
Allora, avevo pensato di ragionare così: la chiusura di un insieme è l'intersezione di tutti i chiusi contenenti Y, sicuramente tra questi c'è R e c'è almeno un altro chiuso che lo contiene, è la chiusura dell'insieme $[\sqrt 2 , 3[$. Tutti i punti di R, e quindi in particolare quelli di X, visto che Q è denso in R, sono di accumulazione per Q, quindi credo di poter affermare che la chiusura di Y è la stessa dell'insieme $[\sqrt 2 , 3[$. L'interno è il vuoto, quindi Y è chiuso e limitato ed è un compatto. Per la connessione, basta osservare che la topologia indotta è quella discreta e quindi Y risulta sconnesso.
Devo determinare la chiusura di $Y=[\sqrt 2 , 3[ \cap Q$ e dire se l'insieme è compatto e connesso.
Allora, avevo pensato di ragionare così: la chiusura di un insieme è l'intersezione di tutti i chiusi contenenti Y, sicuramente tra questi c'è R e c'è almeno un altro chiuso che lo contiene, è la chiusura dell'insieme $[\sqrt 2 , 3[$. Tutti i punti di R, e quindi in particolare quelli di X, visto che Q è denso in R, sono di accumulazione per Q, quindi credo di poter affermare che la chiusura di Y è la stessa dell'insieme $[\sqrt 2 , 3[$. L'interno è il vuoto, quindi Y è chiuso e limitato ed è un compatto. Per la connessione, basta osservare che la topologia indotta è quella discreta e quindi Y risulta sconnesso.
Risposte
La compattezza la ottieni gratis senza determinare la chiusura (se la topologia su \(\mathbb{R}\) è quella naturale)!
La chiusura di una intersezione di finiti insiemi non è l'intersezione delle chiusure? Te lo dico con dubbio.
Se non sbaglio, la connessione è risolta.
Poi perché affermi che l'interno è vuoto?
La chiusura di una intersezione di finiti insiemi non è l'intersezione delle chiusure? Te lo dico con dubbio.
Se non sbaglio, la connessione è risolta.
Poi perché affermi che l'interno è vuoto?
"j18eos":
La compattezza la ottieni gratis senza determinare la chiusura (se la topologia su \(\mathbb{R}\) è quella naturale)!
?
Che cosa vuoi dire? A me quell'affare non pare compatto proprio per niente.
Comunque, la chiusura non dialoga bene con l'intersezione. Per esempio, prendi \(A_1=(-1, 0), A_2=(0, 1)\). Allora
\[\overline{A_1 \cap A_2}=\varnothing, \qquad \overline{A_1}\cap\overline{A_2}=\{0\}.\]
L'operatore di Kuratowski ha tra le sue proprietà quella che la chiusura di un intersezione è contenuta nella intersezione delle chiusure.
L'interno è vuoto poichè la topologia indotta è quella discreta e dunque nessun intervallo è contenuto in un punto.
Per la compattezza, ho capito che lo spazio non è compatto, poichè un insieme in una topologia discreta è compatto se è costituita solo da un numero finito di punti. In tal caso i punti sono infiniti e dunque non vale la definizione di compattezza (non esiste un ricoprimento finito di aperti per Y da cui posso estrarre un sottoricoprimento finito per Y).
E per quanto riguarda la determinazione di chiusura e interno che ho scritto, cosa ne pensate?
L'interno è vuoto poichè la topologia indotta è quella discreta e dunque nessun intervallo è contenuto in un punto.
Per la compattezza, ho capito che lo spazio non è compatto, poichè un insieme in una topologia discreta è compatto se è costituita solo da un numero finito di punti. In tal caso i punti sono infiniti e dunque non vale la definizione di compattezza (non esiste un ricoprimento finito di aperti per Y da cui posso estrarre un sottoricoprimento finito per Y).
E per quanto riguarda la determinazione di chiusura e interno che ho scritto, cosa ne pensate?
No, ti stai basando su una cosa falsa. Non è vero che la topologia di $Y$ è quella discreta: infatti in ogni intervallo (non ridotto ad un punto solo) di numeri reali cadono sempre infiniti numeri razionali.
Purtroppo stavo parlando di \(\overline{Y}\) e non di \(Y\). 
Allora, mi sembra di aver fatto bene la chiusura e l'interno. Ora devo ragionare bene su compattezza e connessione. Allora, devo vedere bene chi è Y. Y è l'intersezione di X con l'insieme dei numeri razionali, quindi in effetti la mia è X meno tutti i numeri irrazionali.
Quindi, come dice giustamente @dissonance nel post successivo, è un insieme "bucherellato". Beh, a questo punto sicuramente posso affermare che Y non è connesso, poichè in R i connessi sono tutti e soli gli intervalli. Analogamente non può essere compatto poichè in R i compatti sono tutti e soli gli insiemi chiusi e limitati.
Quindi, come dice giustamente @dissonance nel post successivo, è un insieme "bucherellato". Beh, a questo punto sicuramente posso affermare che Y non è connesso, poichè in R i connessi sono tutti e soli gli intervalli. Analogamente non può essere compatto poichè in R i compatti sono tutti e soli gli insiemi chiusi e limitati.
No, no no! Scusa, ragiona un attimo. Prendi un intervallo di numeri reali, uno qualsiasi, \((a, b)\). Quanti numeri razionali ci sono là dentro? Infiniti. E quanti numeri irrazionali? Pure infiniti. Quindi, supponi di togliere tutti i numeri irrazionali, che è quanto ti viene chiesto di fare dall'esercizio. Ti rimane un intervallo? Certamente no, ti rimane un aggeggio tutto bucherellato. E' di questo aggeggio che devi descrivere le proprietà topologiche.
Ho modificato, vedi adesso..., mi scuso per il disturbo, ma fino ad ora, non avevo mai lavorato con questo tipo di insiemi "praticamente".
"biggest":
mi scuso per il disturbo
Non hai niente di cui scusarti, non hai fatto nulla di male né a me, né al forum. E non mi disturbi: nessuno mi obbliga a scrivere qui e lo faccio solo se e quando voglio. Se ho usato un tono più colorito non è certo perché mi sono arrabbiato, figurati. Intendevo solamente segnalare con maggiore enfasi un errore.
Venendo al dunque, per la connessione il discorso che hai fatto va bene. Lo stesso per la compattezza a patto di dimostrare per bene che l'insieme non è chiuso in \(\mathbb{R}\). Va bene passare dalla chiusura, ma il ragionamento che hai fatto nel primo post non è troppo convincente, per quanto l'idea di fondo sia giusta. Io rifarei il discorso passo passo: è chiaro che la chiusura di \([\sqrt{2}, 3)\cap \mathbb{Q}\) è contenuta in \([\sqrt{2}, 3]\), così resta da dimostrare che
\[\sqrt{2}, 3]\subset \overline{[\sqrt{2}, 3)\cap \mathbb{Q}}\]
e questo lo farei puntualmente: preso un punto di \([\sqrt{2}, 3]\), per ogni suo intorno eccetera eccetera. Prova un po'.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo