Chiusi e aperti

[miriam161089]

l'unione di chiusi è uguale al chiuso dell'unione
l'intersezione di aperti è uguale all'aperto dell'intersezione
1. Stabilire se qualcuna di queste uguaglianze si estende ad una famiglia infinita di insiemi.
2. Stabilire se sostituendo l'uguaglianza con una opportuna inclusione, questa si estende ad
una famiglia infinita di insiemi.

io penso che non vale l'uguaglianza in nessuno dei due casi però non riesco a dimostrarlo
qualcuno sa aiutarmi?
grazie

[DavideGenova1]

"miriam161089":1. Stabilire se qualcuna di queste uguaglianze si estende ad una famiglia infinita di insiemi.

Nel caso di famiglie finite valgono proprio per la definizione di aperto di una topologia e di chiuso.
Nel caso di famiglie infinite, no. I primi controesempi che mi vengono in mente sono, nella topologia naturale \((\mathbb{R},d)\) con la distanza euclidea $d$, rispettivamente \(\bigcup_{m>\frac{2}{b-a}}[a+\frac{1}{m},b-\frac{1}{m}]\) e, per qualunque \(a\in\mathbb{R}\), l'intersezione di tutti gli aperti che contengano $a$, che è \(\{a\}\), un chiuso.

"miriam161089":2. Stabilire se sostituendo l'uguaglianza con una opportuna inclusione, questa si estende ad
una famiglia infinita di insiemi.

Per ogni chiuso $K$ di uno spazio topologico \(K\subset\bar{K}\) e per ogni aperto $A$ si ha che \(\text{Int}(A)\subset A\), quindi, anche se sono ai primi passi nello studio della topologia ed è senz'altro meglio vedere che cosa dicono gli altri, direi che, per $J$ finito o infinito, \(\bigcup_{j\in J} K_j\subset \overline{\bigcup_{j\in J} K_j}\) e \(\text{Int}(\bigcap_{j\in J} A_j)\subset \bigcap_{j\in J} A_j\).
Ciao!

[miriam161089]

io infatti avevo pensato che non valgono le uguaglianze perchè in generale intersezione infinita di aperti non è necessariamente un aperto
analogamente per l unione di chiusi
questa è quindi una possibile dimostrazione del fatto che non valgono le uguaglianze?

[Seneca1]

Ciao Miriam. Ti ricordo che per provare che una certa proprietà non vale basta esibire un controesempio.