Chiarimento:spazio vettoriale di $CC$ su $RR$ e $CC$ su $CC$
Buondì ragazzi,
dovete assolutamente aiutarmi a chiarire dei dubbi che ho sulla verifica che uno spazio $W$ è sottospazio di $CC_3$ su $RR$ e che è sottospazio di $CC_3$ su $CC$ cioè non tanto sulla verifica in sè quanto sul passaggio da $CC$ a $RR$
Come variano la dimensione e le basi?
Tra i vari miei appunti ho trovato questo... $dim_CC CC^{3}=3$ mentre $dim_RR CC^{3}=6$... che vuol dire?!?!
Praticamente
se ho lo spazio generato da {u(0, 1, -i); v(i, 0, -1); w(i, i, 0)}$ in CC_3$ e voglio determinarne una base e dimensione prima su $CC$ e poi su $RR$ come procedo?
o meglio nel caso su $RR$, devo considerare i vettori appartenenti ad $RR$ ovvero con la loro parte immaginaria nulla e quindi {u(0, 1, 0); v(0, 0, -1); w(0, 0, 0)} ?
e in tal caso che vuol dire $dim_RR CC^{3}=6$?
Come potete ben vedere ho le idee un po confuse... e se mi deste una mano ne sarei felice..
dovete assolutamente aiutarmi a chiarire dei dubbi che ho sulla verifica che uno spazio $W$ è sottospazio di $CC_3$ su $RR$ e che è sottospazio di $CC_3$ su $CC$ cioè non tanto sulla verifica in sè quanto sul passaggio da $CC$ a $RR$
Come variano la dimensione e le basi?
Tra i vari miei appunti ho trovato questo... $dim_CC CC^{3}=3$ mentre $dim_RR CC^{3}=6$... che vuol dire?!?!
Praticamente
se ho lo spazio generato da {u(0, 1, -i); v(i, 0, -1); w(i, i, 0)}$ in CC_3$ e voglio determinarne una base e dimensione prima su $CC$ e poi su $RR$ come procedo?
o meglio nel caso su $RR$, devo considerare i vettori appartenenti ad $RR$ ovvero con la loro parte immaginaria nulla e quindi {u(0, 1, 0); v(0, 0, -1); w(0, 0, 0)} ?
e in tal caso che vuol dire $dim_RR CC^{3}=6$?
Come potete ben vedere ho le idee un po confuse... e se mi deste una mano ne sarei felice..
Risposte
chiedo venia... ma non so come mi ha postato due volte la discussione... ho fatto una combo tra anteprima e invia...
[mod="cirasa"]Cancello l'altra discussione.[/mod]
Dato un insieme di elementi, esso è spazio vettoriale (reale o complesso) se sono verificate alcune proprietà che conosci.
Queste proprietà sono indipendenti dall'effettiva natura degli elementi dell'insieme.
Voglio dire che, anche se $W$ è un insieme di terne complesse, $W$ può essere tranquillamente uno spazio vettoriale reale e non è necessario che cambi la natura degli elementi di $W$!
In questo senso la risposta a questa domanda
Per quanto riguarda la prima domanda a proposito di basi e dimensioni, vale il seguente risultato.
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $CC$ di dimensione (complessa) $n$ con base $(v_1,...,v_n)$.
Allora $V$ è anche uno spazio vettoriale su $RR$ di dimensione reale $2n$ e base $(v_1,...,v_n,iv_1,...,iv_n)$.
[Se non l'hai studiato, prova a dimostrarlo se ti va. Non è difficile.]
N.B. Il viceversa non è vero, cioè se $V$ è un $RR$-spazio vettoriale, non è detto che sia anche un $CC$-spazio.
Queste proprietà sono indipendenti dall'effettiva natura degli elementi dell'insieme.
Voglio dire che, anche se $W$ è un insieme di terne complesse, $W$ può essere tranquillamente uno spazio vettoriale reale e non è necessario che cambi la natura degli elementi di $W$!
In questo senso la risposta a questa domanda
"geckissimo":è no. Gli elementi di $W$ sono le combinazioni lineari complesse di quei tre vettori complessi precedenti. Non cambiano.
o meglio nel caso su $RR$, devo considerare i vettori appartenenti ad $RR$ ovvero con la loro parte immaginaria nulla e quindi {u(0, 1, 0); v(0, 0, -1); w(0, 0, 0)} ?
Per quanto riguarda la prima domanda a proposito di basi e dimensioni, vale il seguente risultato.
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $CC$ di dimensione (complessa) $n$ con base $(v_1,...,v_n)$.
Allora $V$ è anche uno spazio vettoriale su $RR$ di dimensione reale $2n$ e base $(v_1,...,v_n,iv_1,...,iv_n)$.
[Se non l'hai studiato, prova a dimostrarlo se ti va. Non è difficile.]
N.B. Il viceversa non è vero, cioè se $V$ è un $RR$-spazio vettoriale, non è detto che sia anche un $CC$-spazio.
scusa ma ho qualche difficoltà!
allora
se lavoriamo in campo complesso abbiamo...
$ ( ( 0 , 1 , -i ),( i , 0 , -1 ),( i , i , 0 ) ) $ svolgendo il determinante osseriamo che esso viene $0$ quindi i vettori sono linearmente dipendenti
fissato il minore possiamo dire che $( 0 , 1 , -i ),( i , 0 , -1 )$ generano uno spazio quindi identificano pure una base: abbiamo base e dimensione su $CC$!
se lavoriamo adesso in campo reale abbiamo per quanto da te detto che $dim_RR =4$, giusto? ed una sua base quale sarebbe?!?... io onestamente mi sto confondendo...
allora
se lavoriamo in campo complesso abbiamo...
$ ( ( 0 , 1 , -i ),( i , 0 , -1 ),( i , i , 0 ) ) $ svolgendo il determinante osseriamo che esso viene $0$ quindi i vettori sono linearmente dipendenti
fissato il minore possiamo dire che $( 0 , 1 , -i ),( i , 0 , -1 )$ generano uno spazio quindi identificano pure una base: abbiamo base e dimensione su $CC$!
se lavoriamo adesso in campo reale abbiamo per quanto da te detto che $dim_RR =4$, giusto? ed una sua base quale sarebbe?!?... io onestamente mi sto confondendo...
E invece sei sulla strada giusta!
Se $W$ è lo spazio generato da $(0, 1, -i),(i, 0, -1),(i, i, 0)$, $W$ ha dimensione complessa $2$ con base formata da $(0, 1, -i),(i, 0, -1)$ (quindi giusto ciò che hai fatto!).
Per il risultato che ti ho enunciato, $W$ è uno spazio vettoriale reale, [tex]\dim_{\mathbb{R}}W=4[/tex].
Una base è formata dai vettori $(0, 1, -i),(i, 0, -1),i(0, 1, -i),i(i, 0, -1)$, cioè dai vettori $(0, 1, -i),(i, 0, -1),(0, i, 1),(-1, 0, -i)$.
Se $W$ è lo spazio generato da $(0, 1, -i),(i, 0, -1),(i, i, 0)$, $W$ ha dimensione complessa $2$ con base formata da $(0, 1, -i),(i, 0, -1)$ (quindi giusto ciò che hai fatto!).
Per il risultato che ti ho enunciato, $W$ è uno spazio vettoriale reale, [tex]\dim_{\mathbb{R}}W=4[/tex].
Una base è formata dai vettori $(0, 1, -i),(i, 0, -1),i(0, 1, -i),i(i, 0, -1)$, cioè dai vettori $(0, 1, -i),(i, 0, -1),(0, i, 1),(-1, 0, -i)$.
"cirasa":
Per il risultato che ti ho enunciato, $W$ è uno spazio vettoriale reale, [tex]\dim_{\mathbb{R}}W=4[/tex].
Una base è formata dai vettori $(0, 1, -i),(i, 0, -1),i(0, 1, -i),i(i, 0, -1)$, cioè dai vettori $(0, 1, -i),(i, 0, -1),(0, i, 1),(-1, 0, -i)$.
Quindi fammi capire se ho capito...
Se io ho uno spazio $V={(x,y,z)in CC_3 | ix-z=0, y=0}$
osservo subito che è sottospazio di $CC$ poichè caratterizzato da equazioni omogenee: $0 in V$ allora $V$ è sottospazio quindi sarà anche $RR$ sottospazio, giusto?
(puntualizzazione:è sufficiente e necessiario che il vettore nullo appartenga allo spazio per definirlo sottospazio?)
Analizzando su $CC$ abbiamo
$V={(x,0,ix) | x in CC}$ una base è allora (1,0,i) da cui $dim_CC V = 1$
Analizzando su $RR$ abbiamo
$dim_RR V = 2$ allora una sua base è $(1,0,i)$ e $i(1,0,i) = (1,0,-1)$
Corretto?
grazie ancora
Partiamo dalla puntualizzazione: dato un sottoinsieme $W$ di uno spazio vettoriale $V$, il fatto che il vettore nullo appartenga a $W$ è condizione necessaria (ma non sufficiente) affinchè $W$ sia sottospazio.
Con questo voglio dire che
$W" sottospazio di "V\ \Rightarrow\ 0_V\in W$
ma non è vero il viceversa.
A parte questa puntualizzazione, tutto il resto del tuo post precedente è corretto.
Con questo voglio dire che
$W" sottospazio di "V\ \Rightarrow\ 0_V\in W$
ma non è vero il viceversa.
A parte questa puntualizzazione, tutto il resto del tuo post precedente è corretto.
"cirasa":
Partiamo dalla puntualizzazione: dato un sottoinsieme $W$ di uno spazio vettoriale $V$, il fatto che il vettore nullo appartenga a $W$ è condizione necessaria (ma non sufficiente) affinchè $W$ sia sottospazio.
Con questo voglio dire che
$W" sottospazio di "V\ \Rightarrow\ 0_V\in W$
ma non è vero il viceversa.
forse mi sono espresso male o non ho studiato bene questa parte qui...
Partendo dall'affermazione le soluzioni di un sistema omogeneo sono un sottospazio vettoriale
io ho il sistema lineare omogeneo che caratterizza $V$
$ { ( ix-z=0 ),( y=0 ):} $
due equazioni in tre incognite in cui $0$ rappresenta la soluzione banale ma non unica! infatti il sistema ammette $oo^{1}$ soluzioni
adesso
questa è condizione necessaria e sufficiente a stabilire che $V$ è sottospazio di $CC^{3}$ su $CC$ quindi anche su $RR$?
scusa la mia pedanteria e grazie ancora per la tua immensa pazienza-disponibilità
Aaah, forse ho capito cosa vuoi dire.
Supponiamo che tu abbia un sistema lineare.
Il tuo dubbio è forse questo?
Il fatto che il sistema sia omogeneo (e quindi il vettore nullo è soluzione) è condizione necessaria e sufficiente affinchè l'insieme delle soluzioni sia un sottospazio vettoriale?
Se la domanda era questa, la risposta è sì.
Con questo voglio dire che, se hai un sistema lineare, per vedere se l'insieme delle soluzioni formano un sottospazio vettoriale, basta controllare che si tratti di un sistema omogeneo.
Ho detto di no prima, perchè ti eri espresso male. Prendi per esempio questo sistema
${(y=x^2),(z=0):}$
E' evidente che l'insieme delle soluzioni di questo sistema non formano un sottospazio vettoriale di $RR^3$, anche se il vettore nullo vi appartiene. Il problema è che il sistema non è lineare.
Supponiamo che tu abbia un sistema lineare.
Il tuo dubbio è forse questo?
Il fatto che il sistema sia omogeneo (e quindi il vettore nullo è soluzione) è condizione necessaria e sufficiente affinchè l'insieme delle soluzioni sia un sottospazio vettoriale?
Se la domanda era questa, la risposta è sì.
Con questo voglio dire che, se hai un sistema lineare, per vedere se l'insieme delle soluzioni formano un sottospazio vettoriale, basta controllare che si tratti di un sistema omogeneo.
Ho detto di no prima, perchè ti eri espresso male. Prendi per esempio questo sistema
${(y=x^2),(z=0):}$
E' evidente che l'insieme delle soluzioni di questo sistema non formano un sottospazio vettoriale di $RR^3$, anche se il vettore nullo vi appartiene. Il problema è che il sistema non è lineare.
"cirasa":
Il fatto che il sistema sia omogeneo (e quindi il vettore nullo è soluzione) è condizione necessaria e sufficiente affinchè l'insieme delle soluzioni sia un sottospazio vettoriale?
Se la domanda era questa, la risposta è sì.
Con questo voglio dire che, se hai un sistema lineare, per vedere se l'insieme delle soluzioni formano un sottospazio vettoriale, basta controllare che si tratti di un sistema omogeneo.
Sì scusami mi era parso anche a me che mi fossi espresso male...
il mio problema non è il vettore nullo che è soluzione ma il fatto che un qualsiasi sistema omogeneo identifichi un sottospazio vettoriale!
Con quello che tu adesso mi dici nella seconda parte mi viene a mancare un piccolo grande tassello...
per quanto riguarda la parte del sistema non capisco (scusa la franchezza) perchè un sistema ${(y-x^2=0),(z=0):}$ non rappresenta un sistema lineare omogeneo (forse perchè è una parabola la prima equazione?)
e poi
il sistema associato al mio benedetto spazio V ${(ix-z=0),(z=0):}$ è o no un sistema lineare omogeneo per cui identifica un sottospazio vettoriale in $CC$?
questa materia mi sta distruggendo gli eroici neuroni rimasti... sto perdendo ogni certezza...
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Il termine lineare indica che ogni equazione del sistema è di grado $1$, ovvero ogni incognita in ogni equazione è elevata all'esponente $1$.
Il sistema che ti ho presentato non è lineare perchè nella prima equazione la $x$ è elevata al quadrato.
E infatti l'insieme $W$ delle soluzioni non è un sottospazio vettoriale di $RR^3$, in quanto per esempio le terne $(1,1,0)$ e $(2,4,0)$ sono in $W$, ma la loro somma $(3,5,0)$ non vi appartiene.
Sì, lo è. E' lineare (le incognite $x,y,z$ sono tutte elevate ad esponente $1$) ed è omogeneo (non ci sono termini noti).
Quindi l'insieme delle soluzioni è sottospazio di $CC^3$.
Tutto chiaro? Spero di sì.
Per eventuali problemi, a domani!
Il sistema che ti ho presentato non è lineare perchè nella prima equazione la $x$ è elevata al quadrato.
E infatti l'insieme $W$ delle soluzioni non è un sottospazio vettoriale di $RR^3$, in quanto per esempio le terne $(1,1,0)$ e $(2,4,0)$ sono in $W$, ma la loro somma $(3,5,0)$ non vi appartiene.
"geckissimo":
e poi
il sistema associato al mio benedetto spazio V ${(ix-z=0),(z=0):}$ è o no un sistema lineare omogeneo per cui identifica un sottospazio vettoriale in $CC$?
Sì, lo è. E' lineare (le incognite $x,y,z$ sono tutte elevate ad esponente $1$) ed è omogeneo (non ci sono termini noti).
Quindi l'insieme delle soluzioni è sottospazio di $CC^3$.
Tutto chiaro? Spero di sì.
Per eventuali problemi, a domani!
GRAZIE!
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