Chiarimento sulla dimensione della somma diretta di sottospazi vettoriali

[Daniele_981]

Sia V spazio vettoriale finitamente generato su k e W$sube$V sottospazio vett.
Se $EE W_1,…,W_n sube V$ t.c. W é somma diretta di $W_1,…,W_n => dim(W)=\sum_(i=1)^n dim(W_i)$
So che la dimostrazione si fa per induzione su n.
L’aspettò che voglio chiarire è che la proposizione induttiva sarebbe: P(n)=“$EE W_1,…,W_n sube V$ t.c. W é somma diretta di $W_1,…,W_n => dim(W)=\sum_(i=1)^n dim(W_i)$” oppure sarebbe P(k)=“$dim(W_1+…+W_k)=\sum_(i=1)^k dim(W_i)$”, per $ 1<=k<=n$?

[megas_archon]

Il passo induttivo è \(Pn\Rightarrow P(n+1)\), cioè: assumendo che sia vero che \(W=\bigoplus\{ W_i\mid i=1,\dots,n\}\) implica che \(\dim W = \sum_{i=1}^n \dim W_i\), devi dimostrare che, se \(W=\bigoplus\{ W_i\mid i=1,\dots,n+1\}\), allora \(\dim W = \sum_{i=1}^{n+1} \dim W_i\). Questo si fa facilmente usando la definizione di somma diretta, l'associatività della somma diretta, e la formula delle dimensioni.

[Daniele_981]

"megas_archon":Il passo induttivo è \(Pn\Rightarrow P(n+1)\), cioè: assumendo che sia vero che \(W=\bigoplus\{ W_i\mid i=1,\dots,n\}\) implica che \(\dim W = \sum_{i=1}^n \dim W_i\), devi dimostrare che, se \(W=\bigoplus\{ W_i\mid i=1,\dots,n+1\}\), allora \(\dim W = \sum_{i=1}^{n+1} \dim W_i\). Questo si fa facilmente usando la definizione di somma diretta, l'associatività della somma diretta, e la formula delle dimensioni.

Ok, ti ringrazio.
Quindi la proposizione induttiva è la prima che avevo proposto.
Un'ultima domanda: si potrebbe dimostrare lo stesso, partendo dall'ipotesi, usando anche l'altra(cioè P(k)=“$dim(W_1+…+W_k)=\sum_(i=1)^k dim(W_i)$”, per $ 1<=k<=n$) solo che in questo non sarebbe più un'induzione vera e propria sull'insieme dei numeri naturali ma solo un'induzione finita sull'insieme ${1,...,n}$, corretto?